9.1-不等式及其性质

1初中七年级数学下册第九章：不等式与不等式组——9.1.1：不等式及其解集一：知识点讲解知识点一：不等式不等式：用符号“＞”（“≥”）或“＜”（“≤”）表示大小关系的式子叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。列不等式：审清题意，弄清关键字词的含义，找出已知量和未知量以及它们之间存在的关系，然后用不等式将不等关系表示出来。常见的不等号有：“＞”、“≥”、“＜”、“≤”和“≠”五种。常见的关键词及对应的不等符号：”连接用“最多不高于不超过不大于小于或等于”连接用“至少不少于不低于不小于大于或等于常见的符号表示：a是正数表示为a＞0；a是负数表示为a＜0；a是非负数表示为a≥0；a是非正数表示为a≤0；a、b同号表示为ab＞0；a、b异号表示为ab＜0；例1：在下列各式中：①03x；②034yx；③4x；④22baba；⑤7yx；⑥21；⑦23nm，是不等式的有()A.1个B.2个C.3个D.4个知识点二：不等式的解与解集不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。不等式的解是一个具体的值。不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。不等式的解集是一个集合，一个范围，包含不等式的每一个解。解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解。2判断一个数值是不是不等式的解，只需用这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立。若不等式成立，则该数值是不等式的一个解；若不成立，则该数值就不是不等式的解。不等式的解集同时满足：解集中的每个数值都能使得不等式成立；能够使得不等式成立的所有数值都在这个解集中。例2：判断下列说法是否正确，并说明理由。1)3x是不等式93x的解集；2)不等式93x的解是3x；3)3x是不等式93x的一个解；4)3x是不等式93x的解；5)不等式93x的解集是3x。知识点三：不等式解集的表示方法简单不等式表示法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是某个范围，一般用很简单的不等式ax或ax或ax或ax的形式表示出来。数轴表示法：实心圆点表示可取到等号；空心圆圈表示不包括该点，不能取等号。用数轴表示不等式的解集时要“两定”：一是定边界点（注意是实心还是空心），而是定方向。若不等式的解集为ax，则x有最小值，无最大值；若不等式的解集为ax，则x有最大值，无最小值；而对于ax和ax，x既无最大值，也无最小值。例3：回答以下问题：1)在数轴上表示出下列不等式的解集：①3x；②3x；③3x；④3x；2)写出如图所示的各数轴表示的不等式的解集。3二：知识点复习知识点一：不等式1.有下列式子：①01；②132yx；③112x；④1xy；⑤0x；⑥12x。其中是不等式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个2.某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为300±10g，表明了这罐八宝粥的净含量x（单位：g）的范围是()A.340320xB.340320xC.340320xD.340320x3.用不等号“＞”、“＜”、“≥”或“≤”填空：12a0。4.用适当的不等式表示下列关系：1)a的3倍与b的51的和不大于3；2)2x的非负数；3)x的相反数与1的差不小于2；4)x与17的和比x的5倍小。知识点二：不等式的解与解集5.下列个数：﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1.5、2，其中，是不等式23x的解的有()A.2个B.3个C.4个D.5个6.下列说法中，错误的是()A.不等式5x的整数解有无数多个B.不等式5x的负数解有有限个C.不等式04x的解集是4xD.40x是不等式82x的一个解4知识点三：不等式解集的表示方法7.在数轴上表示不等式3x的解集，下列正确的是()A.B.C.D.8.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是。三：题型分析题型一：列不等式例1：用不等式表示下列语句中的数量关系：1)x与1的和是正数；2)y的2倍与1的和大于3；3)铅球的质量1m比篮球的质量2m大；4)小敏的体重是akg，小兰的体重是bkg，她们的体重之和不超过100kg。题型二：写出表示在数轴上的不等式的解集例2：写出如图所表示的各不等式的解集。5第九章：不等式与不等式组——9.1.2：不等式的性质一：知识点讲解知识点一：不等式的性质不等式的性质1：文字语言：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。符号语言：如果ba，那么cbca。不等式的性质2：文字语言：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。符号语言：如果ba、0c，那么bcac（或cbca）。不等式的性质3：文字语言：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。符号语言：如果ba、0c，那么bcac（或cbca）。不等式还具有传递性：若ba、cb，则ca。应用不等式的性质时，要注意“两边”是指不等号的两边，还要注意“同一个”的要求，对于不等式的性质2和性质3，必须注意“正数”、“负数”的条件，再判断不等号方向改变与否。例1：填空（1）若ba，则3a3b，根据，不等式两边，不等号方向。（2）若ba，则7a7b，根据，不等式两边，不等号方向。（3）若032a，则a0，根据，不等式两边，不等号方向。知识点二：用不等式的性质解简单的不等式用不等式性质解不等式就是利用不等式的性质1、2、3对不等式两边进行变形，使其逐步化为ax（ax），或ax（ax）（a为常数）的形式，据此我们可在数轴上表示出不等式的解集。6例2：利用不等式的性质，把下列不等式化成“ax（ax）”或“ax（ax）”的形式，并将解集在数轴上表示出来：1)21x2)62x二：知识点复习知识点一：不等式的性质1.如果ba，下列各式中不一定正确的是()A.11baB.ba33C.ba11D.44ba2.若yx33，则下列不等式中一定成立的是()A.0yxB.0yxC.0yxD.0yx3.若nm，比较下列各式的大小：1)3m3n；m5n5；2)3m3n；m3n2；3)0nm；423m423n。知识点二：用不等式的性质解简单的不等式4.不等式01x的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.5.写出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：4)由321x，得6x：。5)由53x，得2x：。76)由62x，得3x：。7)由423xx，得4x：。6.若3a，则不等式axa23的解集为。7.利用不等式的性质求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来。8)23x9)2141x10)235xx易错点：在应用不等式的性质3时，没改变不等号的方向例4：将不等式523x转化为ax或ax的形式。四：习题（一）：选择题1.某校男子100m跑的纪录是12s，在今年的校田径运动会上，小刚的100m跑成绩是ts，打破了该项纪录，则下列不等式正确的是()A.12tB.12tC.12tD.12t2.已知实数a、b，满足11ba，则下列选项可能错误的是()A.baB.22ba8C.baD.ba323.下列数学表达式中：①08；②034ba；③3a；④32ba，不等式有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.在数轴上表示不等式1x的解集，正确的是()A.B.C.D.5.不等式1x在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.6.下列说法中，正确的是()A.若ba，则22baB.若ba，则baC.若ba，则baD.若ba，则ba7.下列数值中不是不等式925xx的解的是()9A.5B.4C.3D.2（二）：填空题8.用不等式表示x与5的差不大于x的2倍：。9.关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为。10.10.若关于x的不等式21xa可化为ax12，则a的取值范围是。11.数轴上实数b的对应点的位置如图所示，比较大小：121b0。（用“＜”或“＞”填空）12.（三）：解答题13.在数轴上表示下列不等式的解集。1)3x2)25x3)5x4)2x14.对于不等式“2045yx”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，苹果每千克4元，x千克香蕉与y千克苹果的总钱数不超过20元。请你结合生活实际，设计具体情10境表示下列不等式的意义。1)235yx2)834ba15.回答以下问题：1)如果0ba，那么ab；如果0ba，那么ab；如果0ba，那么ab。2)由第一小题你能归纳出比较a和b大小的方法吗？请写出来；3)用第二小题的方法你能否比较722xx与22xx的大小？16.甲同学与乙同学讨论有关不等式的问题，甲说：当每个苹果的质量一样时，5个苹果的质量大于4个苹果的质量，设每个苹果的质量为x，则有xx45。乙说：这肯定是正确的。甲又说：设a为一个有理数，那么5a一定大于4a，对吗？乙回答：这与xx45是一回事儿，当然也是正确的。请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由。