常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点（一）初等积分法1、线素场与等倾线2、可分离变量方程dxxgdyyhyhxgdxdy)()(1)()(3、齐次方程（一般含有xyyx或的项）)(),(),(uguxxfyxfdxdy4、一阶线性非齐次方程)()(xbyxadxdy常数变易法，或])([)()(Cdxexbeydxxadxxa5、伯努力方程)()()()(1xbyxadxdyyyxbyxadxdynnn令nyz1，则dxdyyndxdzn)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次6、全微分方程0),(),(dyyxNdxyxM若xNyM，则Cyxu),(，（留意书上公式）若xNyM，则找积分因子，（留意书上公式）7、可降阶的二阶微分方程)(22xfdxyd),(22dxdyxfdxyd，令dxdydxydpdxdy22,则),(22dxdyyfdxyd，令dydppdxydpdxdy22,则8、正交轨线族（二）毕卡序列xxdxyxfyy0),(001，xxdxyxfyy0),(102，xxdxyxfyy0),(203，其余类推（三）常系数方程1、常系数齐次0)(yDL方法：特征方程单的实根21,，xxeCeCy2121单的复根i2,1，)sincos(21xCxCeyx重的实根21，xexCCy)(21重的复根i2,1，i4,3，]sin)(cos)[(4321xxCCxxCCeyx2、常系数非齐次)()(xfyDL方法：三部曲。第一步求0)(yDL的通解Y第二步求)()(xfyDL的特解*y第三步求)()(xfyDL的通解*yYy如何求*y？当xmexPxf)()(时，*yxmkexQx)(当vxexQvxexPxfuxmuxmsin)(cos)()(时，*y)sin)(cos)((vxxSvxxRexmmuxk当)(xf是一般形式时，*ydfWxWxx)()(),(0，其中W(.)是郎斯基行列式（四）常系数方程组)()(tfXtAdtdX方法：三部曲。第一步求XtAdtdX)(的通解，Ct)(。利用特征方程0IA，并分情况讨论。第二步求)()(tfXtAdtdX的特解，dssfst)()()(1，（定积分与不定积分等价）第三步求)()(tfXtAdtdX的通解，dssfstCt)()()()(1（五）奇点与极限环1、分析方程组dycxdtdybyaxdtdx的奇点的性质，用特征方程：0IA特征方程的根有3种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，21当0,021，鞍点，图像当0,021，稳定结点，图像当0,021，不稳定结点，图像第二种情况：相异复根，1i，2i当0，中心，图像当0，稳定焦点，图像当0，不稳定焦点，图像第三种情况：相同实根，21当cb,同时为0时，如果0，不稳定临界结点，图像如果0，稳定临界结点，图像当cb,不同时为0时，如果0，不稳定退化结点，图像如果0，稳定退化结点，图像2、方程组),(),(yxYdtdyyxXdtdx的奇点的性质，Perron定理3、方程组),(),(yxYdtdyyxXdtdx的极限环的性质，引入极坐标sincosryrx讨论