齿轮机构总复习题及解答

陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》1第四章齿轮机构一．考点提要：1.齿廓啮合基本定律两齿轮的角速度之比，等于其连心线被两齿廓公法线所分成的两段长度的反比。这一关系称为齿廓啮合基本定律。要让一对齿廓在啮合的全过程中的瞬时传动比保持不变，就必须保证两齿廓无论在哪一点啮合，其公法线保持不动，从而确保公法线和连心线始终交于一固定点，这一点称为节点，使连心线被两齿廓公法线所分成的两段长度的反比保持不变。满足这一定律的一对齿廓称共轭齿廓。2．渐开线齿轮的啮合特点（1）要熟记渐开线性质和方程。（2）因为渐开线圆柱齿轮传动的角速比等于节圆半径的反比，也等于基圆半径的反比，而基圆在齿轮制造好后是不会变的，所以即使两齿轮的安装中心距有些变化或误差，也能保持恒定的传动比。3．各部分名称及关系（1）要熟悉四个圆即齿顶圆，分度圆，齿根圆，基圆；三个弧长即齿距，齿厚，齿槽宽和三高即齿顶高，齿根高和全齿高。熟悉相关的运算，牢记相应的算式。（2）标准齿轮是指分度圆上有标准压力角和标准模数，齿顶高和齿根高符合标准且分度圆上齿厚等于齿槽宽的齿轮。不同时具备这三个条件就不是标准齿轮。（3）内齿轮和齿条的特点内齿轮有以下特点：（1）内齿轮的齿槽和轮齿分别相当于外齿轮的轮齿和齿槽（2）齿顶圆半径小于齿根圆半径（3）内齿轮的齿顶圆大于基圆齿条有以下特点：（1）齿条齿廓为直线，齿廓上各点的压力角均为标准值，且等于齿条齿廓的倾斜角(齿形角)。（2）在平行于齿条齿顶线的各条直线上，齿条的齿距均相等.（3）分度线至齿顶线的高度为齿顶高，分度线至齿根线的高度为齿根高4．渐开线直齿轮传动的特点（1）弄清分度圆和节圆的区别，其区别见表4-1陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》2（2）啮合线，啮合角与压力角一对齿轮基圆内公切线的称为理论啮合线，理论啮合线与两齿轮齿顶圆的两个交点之间的部分称为实际啮合线。啮合角是指两轮传动时其节点处的速度矢量与啮合线之间所夹的锐角，压力角是指单个齿轮渐开线上某一点的速度方向与该点法线方向所夹的角。根据定义可知，啮合角就是节圆的压力角。对于标准齿轮．当其按标准中心距安装时．由于节圆与分度圆重合，故其啮合角等于分度圆压力角。（3）正确安装，标准安装及非标准安装标准安装是指把两个标准齿轮按照标准中心距的安装。标准安装时两齿轮的节圆和分度圆重合，两分度圆相切。标准中心距是两个齿轮分度圆半径之和。非标准安装的中心距'a比标准安装的中心距a大，此时分度圆不相切。啮合角（即节点的压力角）'与分度圆的标准压力角在非标准安装时是不相等的。应熟练掌握其关系式：'cos'cosaa（4-1）正确安装是指一对变位齿轮的无侧隙安装。其变位系数及啮合角的关系为：12122()'xxinvtginvzz（4-2）这一算式称为无侧隙啮合方程。由（4-1）和（4-2）算出的是正确安装的中心距。非标准安装的中心距是两个节圆半径的和：122211'''''rrarZrZ（4-3）（4）齿轮的正确安装条件对一对直齿轮而言，只有模数和压力角分别相等的一对齿轮才能正常的啮合传动。对平行轴间传动的斜齿轮而言，要端面或法面的模数和压力角分别相等且螺旋角大小相等，旋陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》3向应相反。5．齿轮的连续平稳传动条件通常把一对齿轮的实际啮合线长度与齿轮的法向齿距pb的比值εα。称为齿轮传动的重合度。重合度的表达式为：εα=[z1(tanαal—tanα’)±z2(tanαa2-tanα’)/2π由重合度的计算公式可见，重合度εα与模数m无关．随着齿数z的增多而加大，对于按标准中心距安装的标准齿轮传动，当两轮的齿数趋于无穷大时的极限重合度1.981此外重合度还随啮合角α’的减小和齿顶高系数ha*的增大而增大。重合度与中心距a有关(涉及啮合角α’)，与压力角α、顶隙系数c*无关。中心距增大则重合度减小。要使一对齿轮啮合时保持连续传动，就必须保证重合度大于或至少等于1。这样才能确保当前一对齿还没有脱离接触前，后一对齿就已经进入啮合，使传动不会中断。６．齿轮的根切及避免用范成法加工齿轮时，刀具顶部切入轮齿的根部，把靠近齿根附近的齿廓切去一部分，这种现象称根切。其原因是刀顶线越过了啮合线端点而深入齿轮基圆内部更深的位置。这是由于齿数较少的齿轮的齿根圆比基圆小许多，为了加工出全齿深度，如图4.1所示，刀具必须深入到刀顶线和齿根圆相切的位置，这就必然超过啮合线端点N，从而切去一部分基圆和齿根圆之间的轮廓。防止的方法主要有两种，一是确保刀具的齿顶高NMmha*，即刀顶线在N点以外位置。而22sin5.0sinsinmzOPNPNM，从而得：1720sin12sin222*OahZ（4-4）还有一种方法是采用变位齿轮，把刀具外移到虚线位置即：22*sin2sinsinMZrPNMNNMxmmha（a）∴2*sin2Zhxa(b)又∵2*minsinazhZ(c)min*22sinZha(d)联立以上各式得：∴minmin*minZZZhxa陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》4通常20，1*ah，17minZ得：∴1717minZx（4-5）图4.1齿轮的根切７．变位齿轮变位齿轮有正变位和负变位之分，为避免根切，采用把刀具向远离齿轮轴心的方向移动一段距离的办法称正变位，而如果反之，把刀具向靠近齿轮轴心的方向移动一段距离的办法称负变位。变位齿轮的加工方法与标准齿轮一致，模数、压力角、分度圆、基圆都不变，所以齿形不变。所不同的仅是刀具相对于齿胚移动了一段距离。由此引起齿顶圆、齿根圆以及相应的齿高、齿厚要发生变化见图4.2。图4.2变位齿轮的齿形根据一对齿轮变位系数的不同，齿轮传动可分为三种类型：（1）．零传动若一对啮合传动的齿轮的变位系数之和为零即021xx，则这种齿轮传动称为零传动。这样的一对变位齿轮称为高变位，即啮合角不变，中心距不变。（2）．正传动陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》5若一对啮合传动的齿轮的变位系数之和大于零即021xx，则这种齿轮传动称为正传动。这样的一对变位齿轮称为角变位，即啮合角，中心距都变化了。（3）．负传动若一对啮合传动的齿轮的变位系数之和大于零即021xx，则这种齿轮传动称为负传动。这样的一对变位齿轮也称为角变位，即啮合角，中心距都变化了。８．斜齿轮的标准参数规定在法面上，而其几何尺寸要按端面来计算由于斜齿轮的齿面为一渐开螺旋面．故其端面齿形和垂直于螺旋线方向的法面齿形是不相同的。因而斜齿轮的端面参数与法面参数也不相同。由于在制造斜齿轮时，常用齿条形刀具或盘状铣刀切齿，在切齿时刀具是沿着齿轮的螺旋线方向进刀的，因此必须按齿轮的法面参数来选择刀具，故斜齿轮法面上的参数(模数、压力角、齿顶高系数、顶隙系数等)应与刀具的参数相同，且为标准值。在计算斜齿轮的主要几何尺寸时需要按端面考虑，原因是：端面参数代表齿轮的实际大小，法面是假想的,圆柱斜向切开后得到的是椭圆，并不存在直齿轮的分度圆等四个圆。计算时首先把参数从法面换算到端面，再按直齿圆柱齿轮一样运算即可。９．斜齿轮的当量齿数过斜齿轮分度圆柱上的一点C，作轮齿的法向平面，该法面与分度圆柱的交线为一椭圆，见图4.3。以C点处椭圆的曲率半径为分度圆半径，以斜齿轮法面的模数为模数，法面压力角为压力角的直齿圆柱齿轮，其齿形与斜齿轮在C点的法面齿形相同，这个假想的直齿轮称为该斜齿轮的当量齿轮。当量齿轮的齿数为：3cos/zzV（4-6）用仿形法加工时用这个齿数的齿形选刀具就可以保证其刀刃形状与斜齿轮法面的齿槽形状一致。可以说：当量齿轮就是齿廓形状和斜齿轮法面齿形一致的假想直齿轮。直齿轮齿数少于17牙会根切，所以令ZV等于17就可以选择不根切的斜齿轮齿数及螺旋角。由于是假想齿数，并不一定是整数。陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》6图4.3斜齿轮的当量齿轮１０．圆锥齿轮圆锥齿轮的齿廓是球面渐开线，但是球面是不能展开在平面上的，这就使加工很困难。只能采用近似的方法。从圆锥齿轮在其轴平面的投影可见，在大端的分度圆上作球面的切线，两切线与轴线的投影相交成一锥形，称背锥。把背锥展开在平面上成两个扇形直齿轮啮合。把这两个扇形齿轮补齐为假想的直齿轮称当量齿轮。见图4.4。图4.4圆锥齿轮的当量齿轮陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》7二．难点分析1．为了实现定传动比传动，对齿轮的齿廓曲线有什么要求？传动连续的一对齿廓是否一定满足齿廓啮合基本定律？答：要满足齿廓啮合基本定律。但要说明一对能连续传动的齿廓并不一定满足恒传动比，从图4.5可见：只要两齿廓在啮合点速度的法线方向分量相等就可以连续传动，这只要满足：2211coscosvvkk，显然并不包括恒传动比条件。图4.5齿轮啮合2．变位齿轮加工时齿条刀具沿齿轮径向离开齿轮距离是xm,即变位系数乘以模数。那么保持两个齿轮被加工时相对于齿条刀具的位置安装是否可以？从图5.2可见，变位齿轮的齿根圆和齿顶圆应分别为：mxchrhrraff)(1**1111mxchrhrraff)(2**2222mxhrhrraaa)(1*1111mxhrhrraaa)(2*2122这样计算是否正确？为什么？答：在计算变位齿轮的齿顶圆时要考虑齿顶圆的削减量。如图4.6所示，图中虚线是与两齿轮都可以啮合的一根齿条，从图中可见，如果两齿轮都采用正变位，即相对于齿条中线远离mx1和mx2，则两齿轮与齿条的啮合点将分离，也就是说出现了齿侧间隙。为消除齿侧间隙就只能把两齿轮靠拢到按无侧隙啮合，此时的中心距是按照无侧隙啮合方程算出的中心距。但是，两齿轮顶隙mc*是加工过程中自动保证的，如果把两齿轮凑近，就会出现一个齿轮的齿顶和另一个齿轮的齿根相碰的情况，为此只能把变位齿轮的齿顶削减一段。所以计算变位齿轮时要成对计算，要考虑齿顶圆的削减量，最方便的方法是按照中心距减去齿顶陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》8间隙再减去与之啮合齿轮的齿根圆得变位齿轮的齿顶圆计算公式为：mcarrfa*'21（4-7）mcarrfa*'12(4-8)图4.6变位齿轮的齿顶削减3.在一对齿轮啮合时，啮合点的压力角是否一定相同？在哪一点相同？答：由于齿廓上各点压力角不同，越靠近齿顶压力角越大，所以一对齿轮啮合时压力角一般不同，只有在节点啮合时相同。4.基圆上的渐开线曲率半径是否就是基圆的曲率半径，此处压力角多大？答：不是，基圆上的渐开线曲率半径为零，压力角也为零。5.齿轮的齿顶圆是否一定大于齿根圆？有没有基圆大于分度圆的情况？答：不一定。内齿轮的齿顶圆小于齿根圆。但没有基圆大于分度圆的情况。6.由于齿轮传动中留有径向间隙，因此齿根圆以上高度为mc*内是非渐开线，而此段以上一定都是渐开线吗？答：不对。基圆以内没有渐开线，所以当齿数较少，基圆大于齿根圆的齿轮，就会出现从基圆到齿根圆都不是渐开线。7。任意圆上的齿厚公式对齿轮全齿高上任意半径的齿厚都适用吗？为什么？答：对基圆内不适用，对从齿根向上径向mc*一段也不适用，因为不是渐开线齿廓。8。因为渐开线齿廓具有可分性，是否可认为一对齿轮安装误差无论多大都不影响传动？答；不可以。中心距太小会把两个齿廓挤在一起顶死，使传动和润滑都困难。中心距太大会增大间隙，影响传动平稳性，重合度降低会使连续传动受影响。9。正变位可以使齿轮上牙齿的抗弯强度增大，因此是否变位系数越大越好？答：不是。从图5.2可见，正变位是使用的比标准齿轮更靠外的一段渐开线，也就更弯曲，陆宁编写《机械设计基础考研总复习题及解答》9变位系数过大会使齿顶变尖使之无法承载。三．典型解题范例例1如图4.7所示,一对标准直齿圆柱齿轮以标准中心距安装并啮合传动,标准安装的啮合角为20O,1N、2N为两基圆的内公切线,啮合线上相邻两啮合点间的距离11.8mm,求：1）两齿轮的基圆齿距和模数2）标出实际啮合线