数列知识点总结及通项公式的十五种求法

数列知识点总结及通项公式的十五种求法一、基本概念1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．+1nn数列的项、数列的项数表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式通项公式：不是所有的数列都有通项公式符号控制器：如（1）、（1）递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．222有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第项起，每一项都不小于它的前一项的数列．数列分类递减数列：从第项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．二、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差．1,2nnaadnnZ且，或1,1nnaadnnZ且1、若等差数列na的首项是1a，公差是d，则有111111nmnnmnaandanmdknbaaaadnnmaand性质：23 22,{+}{+}npqnmnpqnmmkmkmknnnnnaaabnpqaaaamnpqaaaaaaaaaabaab等差中项：三个数，G，b组成的等差数列，则称G为与b的等差中项2G=若{}是等差数列，则若{}是等差数列，则、、、、构成公差公差kd的等差数列若{}、{}是等差数列则、是等差数列2、等差数列的前n项和的公式：121122nnnaannSnadpnqn等差数列的前n项和的性质：（1）*211*212212111nnnnnnnnnnSSndnnSnaaSaSaSSannSnaSnaSnaSnSn偶奇奇偶奇偶奇偶奇偶若项数为，则，若项数为，则，，（2）232SSS,SSS{}mmmmmnn，成等差数列是等差数列若等差数列{}na,{}nb的前n项和为,nnST,,则1212nnnnTSba（3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）①若001da，则nS有最大值，当n=k时取到的最大值k满足001kkaa②若001da，则nS有最小值，当n=k时取到的最大值k满足001kkaa三、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比．1、通项公式及其性质若等比数列na的首项是1a，公比是q，则1111,nnmnmnnmnnmaaqaqaaqqaa．22232{}npqnmnpqkmmkmkmkaaGabnpqaaaamnpqaaaaaaaaq，G，b成等比数列，则称G为与b的等比中项性质：若是等比数列，则、、、、成公比的等比数列2、前n项和及其性质11111111,(1)1,111111nnnnnnnaqqSaqaaqaaqaaqAqAqqqqqq．2322322SSS,SSnnmnmnnnnnmmmmmSSqSSSSSSSnqS偶奇、、成等比数列性质若项数为，则，成等比数列．四、(1)na与nS的关系：111;2nnnSnaSSn（检验1a是否满足1nnnaSS）(2)2222223333(1)1232(1)(2)1236(1)1234nnnnnnnnnn五、一些方法1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前n项和的最大值、最小值2、求通向公式的常见方法（1）观察法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列）；（2）1(),nnaafn累加消元;1(),nnafna累乘消元。（3）1111,()nnnnnaakakaa倒数构造等差:；11111,(1)nnnnnnaaaaaa两边同除构造等差:；（4）1,nnakab化为1()()nnaxkax构造等比11,1nnnnaqapnraxnyqaxny（构造等比数列：）1nnnaqap，化为111nnnnaaqppp，分qp是否等1讨论。3、求前n项和的常见方法公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和一.公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1.等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112.等比数列求和公式：qqaaqqanaSnnn11)1(11111qq3.)1(211nnkSnkn4.)12)(1(6112nnnkSnkn5.213)]1(21[nnkSnkn【例1】已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32nnnxxx211211)211(211)1(解析：如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式，可以直接利用公式.二.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{nnba的前n项和，其中}{na，}{nb分别是等差数列和等比数列.【例2】求数列a，22a，33a，44a，…，nna(a为常数)的前n项和.解：若0a，则0nS若1a，则2)1(321nnnSn若0a且1a则nnnaaaaaS432432∴143232nnnaaaaaS∴132)1(nnnnaaaaaSa111nnnaaaa∴anaaaaSnnn1)1(121)1(a当0a时，此式也成立∴anaaaannSnnn1)1(2)1(12111aa解析：数列}{nna是由数列}{n与}{na对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，(课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的)，但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况.三.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.【例3】求证：nnnnnnnn2)1(C)12(C5C3C210.证明：设nnnnnnnSC)12(C5C3C210…………..……..①把①式右边倒转过来得011CC3C)12(C)12(nnnnnnnnnS(反序)又由mnnmnCC可得nnnnnnnnnSCC3C)12(C)12(110…………..……..②①②得nnnnnnnnnnS2)1(2)CCCC)(22(2110(反序相加)∴nnnS2)1(解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的.四.分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.【例4】)12()1(7531nSnn解：按n为奇偶数进行分组，连续两项为一组.当n为奇数时：nnnnSn)12(212)12()119()75()31(当n为偶数时：nnnnSn22)]12()32[()119()75()31(∴nnSn为偶数为奇数nn五.裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解(裂项)如：1.)()1(nfnfan2.nnnntan)1tan()1cos(cos1sin3.111)1(1nnnnan4.)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan5.])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan6.nnnnnnnnnnnnnna2)1(12121)1()1(221)1(21，则nnnS2)1(11【例5】求数列311，421，531，…，)2(1nn的前n项和nS.解：∵)2(1nn=)211(21nn42122143)2111211(21)211()4121()311(21nnnnnnSn解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系.六.合并求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求nS.【例6】数列}{na满足11a，32a，23a，nnnaaa12，求2002S.解：设20023212002aaaaS由11a，32a，23a，nnnaaa12可得14a，35a，26a，17a，38a，29a，110a，311a，212a……116ka，326ka，236ka，146ka，356ka，266ka∵0665646362616kkkkkkaaaaaa(找特殊性质项)∴20023212002aaaaS5)()()()(463626162002200120001999200220012000199919981994199366261612876321kkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(合并求和)七.拆项求和先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和.【例7】求数5，55，555，…，555的前n项和nS.解：因为)110(95555n∴555555555nS)110()110()110(952nn个5n个5n个5nn110)110(1095815095108150nn解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和.另外：nnnS21813412211可以拆成：)21814121()321(nnnS八、累加法例2已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaa