数学建模的心得体会

数学建模的体会思考经过这段时间的学习，了解了更多的关于这门学科的知识，可以说是见识了很多很多，作为一个数学系的学生，一直都有一个疑问，数学的应用在那里。对了，就在这里，在这里，我看到了很多，也学到了很多，关于各个学科，各个领域，都少不了数学，都是用建模的思想，来解决实际问题，很神奇。数学建模给了我很多的感触：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案……这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来看，我们都是直接受益者。就拿数学建模比赛写的论文来说。原本以为这是一件很简单的事，但做起来才发觉事情并没有想象中的简单。因为要解决问题，凭我们现有的知识根本不够。于是，自己必须要充分利用图书馆和网络的作用，查阅各种有关资料，以尽量获得比较全面的知识和信息。在这过程中，对自己眼界的开阔，知识的扩展无疑大有好处，各学科的交叉渗透更有利于自己提高解决复杂问题的能力。毫不夸张的说，建模过程挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特别是自学能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继续深入学习数学的主动性和积极性。再次，数学建模也培养了我们的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决问题。其实，在我们做论文之前，考虑到的因素有很多，如果把这一系列因数都考虑的话，将会花费更多的时间和精神。因此，在我们考虑一些因素并不是本质问题的时候，我就将这些因数做了假设以及在模型的推广时才考虑。这就使模型更加合理和理想。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译”，即进行抽象，要用我们熟悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。下面用一个具体的实例，来介绍建模的具体应用：传染病问题的研究一﹑模型假设1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。二﹑模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：在假设1中显然有：s(t)+i(t)+r(t)=1对于病愈免疫的移出者的数量应为rtdNNid不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0s（0s＞0），0i（0i＞0），0r=0.SIR基础模型用微分方程组表示如下：didtdsdtdrdtsiisiisiλsirμis(t)，i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t)，i(t)的一般变化规律。三﹑数值计算在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i（0）=0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程：functiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];ts=0:50;x0=[0.20,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0);四﹑相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。D=｛（s，i）|s≥0，i≥0，s+i≤1｝在方程（3）中消去td并注意到σ的定义，可得11isddsσ00|ssii（5）所以：11isddsσ00i11sisisddsσ（6）利用积分特性容易求出方程(5)的解为：0001()lnsisiss（7）在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作s,i和r).1.不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即：00i2.最终未被感染的健康者的比例是,在(7)式中令i=0得到,是方程0001ln0ssiss在(0,1/σ)内的根.在图形上是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标3.若0s1/σ,则开始有11isdodsσ，i(t)先增加,令11isddsσ=0，可得当s=1/σ时,i(t)达到最大值：00011ln)misis（然后s1/σ时，有11isdodsσ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s,如图3中由P1(0s，0i)出发的轨线4.若0s1/σ,则恒有110isddsσ，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s,如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当0s1/σ(即σ1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得0s≤1/σ(即σ≤1/0s),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值0s是一定的,通常可认为0s接近1)。并且,即使0s1/σ,从(19),(20)式可以看出,σ减小时,s增加(通过作图分析),mi降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方面看,1/ss是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被s个健康者交换.所以当01/s即01s时必有.既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。五﹑群体免疫和预防根据对SIR模型的分析,当01/s时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低0s,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值0i有001sr,于是传染病不会蔓延的条件01/s可以表为011r这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高0r，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的σ更高，根除就更加困难。六﹑模型验证上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了rtdd的实际数据，Kermack等人用这组数据对SIR模型作了验证。首先，由方程（2），（3）可以得到srtddsisisddt1srddst上式两边同时乘以d可，两边积分得0001srsrsrdds0ln|sssr0rses所以：()0()rtstse(12)再0(1)(1)rrtdirsrsed(13)当1/r时，取（13）式右端reTaylor展开式的前3项得：22000(1)2rtsrdrssrd在初始值0r=0下解高阶常微分方程得:0201()(1)()2trtsths其中222000(1)2ssi，01sth从而容易由（14）式得出：22202()2rtdtdsch然后取定参数s0,σ等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。七﹑被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值0s与s之差，记作x,即0xss(16)当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得01ln(1)0xxs(17)取对数函数Taylor展开的前两项有2001(1)02xxss(18)记01s,可视为该地区人口比例超过阈值1的部分。当1时（18）式给出00122xss（19）这个结果表明，被传染人数比例约为的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变。而当阈值1提高时，减小，于是这个比例就会降低。这是一个关于传染病方面的实例，看起来很复杂的题目，用数学建模就可以化抽象为具体，简单的利用微分方程，图像，以及必要的数学软件就可以解决问题，同时把问题细化，分析了各种变量的影响。具体到七各方面的分析综合，这样一个问题就解决了。建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。于以前所学的文化知识，使我终生难忘。