圆的方程练习题(学生版)

试卷第1页，总4页圆的方程练习题（学生版）1．求过点1,1,1,1AB，且圆心在直线20xy上的圆的方程.2．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．3．已知圆经过2,5,2,1两点，并且圆心在直线12yx上。(1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230xy的最小距离。4．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线yx上截得弦长为27；③圆心在直线30xy上.求圆C的方程.5．求圆心在直线3x+y-5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程6．求圆心为（1，1）并且与直线4yx相切的圆的方程。试卷第2页，总4页7．求与圆𝑥2+𝑦2−2𝑥=0外切且与直线𝑥+√3𝑦=0相切于点𝑀(3,−√3)的圆的方程.8．求圆心在直线40xy上，并且过圆22640xyx与圆226280xyy的交点的圆的方程.9．已知圆心为C的圆经过三个点𝑂(0,0)、𝐴(−2,4)、𝐵(1,1)．(1)求圆C的方程；(2)若直线l的斜率为−43，在y轴上的截距为−1，且与圆C相交于P、Q两点，求△𝑂𝑃𝑄的面积．10．已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0。（I）试写出圆C的圆心坐标和半径；（II）若圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程。11．已知圆𝐶的圆心在直线𝑦=12𝑥上，且过圆𝐶上一点𝑀(1,3)的切线方程为𝑦=3𝑥.（Ⅰ）求圆𝐶的方程；（Ⅱ）设过点𝑀的直线𝑙与圆交于另一点𝑁，以𝑀𝑁为直径的圆过原点，求直线𝑙的方程.试卷第3页，总4页12．已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（4,5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程．13．在𝛥𝐴𝐵𝐶中，点𝐴（7，4），𝐵（2，9），𝐶（5，8）(1)求𝛥𝐴𝐵𝐶的面积.(2)求𝛥𝐴𝐵𝐶的外接圆的方程.14．已知圆心在𝑥轴非负半轴上，半径为2的圆C与直线𝑥−√3𝑦+2=0相切.(1)求圆C的方程；(2)设不过原点O的直线l与圆O:x2+y2=4相交于不同的两点A，B．①求△OAB的面积的最大值;②在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l的方程为mx+ny=1，且此时△OAB的面积恰好取到①中的最大值?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.15．若圆𝐶与𝑦轴相切于点𝑃(0,1),与𝑥轴的正半轴交于𝐴,𝐵两点,且|𝐴𝐵|=2,求圆𝐶的标准试卷第4页，总4页方程答案第1页，总9页参考答案1．22114xy.【解析】试题分析：由,AB的坐标计算可得AB的垂直平分线方程yx，进而得到：{20yxxy，解可得,xy的值，即可得圆心坐标，而圆的半径2211[11]2r，代入圆的标准方程计算即可得到答案。解析:由已知得线段AB的中点坐标为0,0，所以11111ABk所以弦AB的垂直平分线的斜率为1k，所以AB的垂直平分线方程为yx又圆心在直线20xy上，所以{20yxxy解得1{1xy即圆心为1,1圆的半径为2211[11]2r所以圆的方程为22114xy.2．x2+y2﹣6x﹣6y+8=0【解析】试题分析：设所求圆的方程为220,xyDxEyF将2,0A,4,0,0,2BC三点代入，即可求得圆的方程。解析：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有4+20{1640240DFDFEF①②③②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6答案第2页，总9页∴D=﹣6，E=﹣6，F=8∴圆的方程是x2+y2﹣6x﹣6y+8=03．（1）222116xy.（2）1【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。试题解析：（1）设圆的方程为220xyDxEyF，由已知条件有222225250{21201222DEFDEFED，解得4{211DEF所以圆的方程为2242110,xyxy222116xy即.（2）由（1）知，圆的圆心为2,1，半径r=4,所以圆心到直线34230xy的距离22324123534d则圆上点到直线34230xy的最小距离为1dr。点睛：解决圆中的最值问题时，一般不直接依赖纯粹的代数运算，而是借助平面几何的相关知识，使得解题变得简单且不易出错。常用结论有：①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最小（大）距离为圆心到直线的距离减去（加上）半径；②当点在圆外时，圆上的点到该点的最小（大）距离等于圆心到该点的距离减去（加上）半径。4．.设圆方程为222xaybr，则2230{72abarabr---4解得3,13,1abab或--------------------------------4’答案第3页，总9页22223)19319xyxy所求为：（或----------2’【解析】略5．(x-2)2+(y+1)2=5【解析】试题分析：解：设：原点O(0,0)和点A（4，0），则线段OA的垂直平分线的方程为x=2所以圆心的坐标为（2，b）又因为圆心在直线3x+y-5=0上，所以3×2+b-5=0,b=-1,圆心的坐标为（2，-1）r2=22+(-1)2=5所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5考点：圆的方程点评：本试题主要是考查了圆的方程的求解，属于基础题。6．2)1()1(22yx【解析】思路分析：点1,1到直线4yx的距离，.22|411|d所以圆的半径,2r又圆心为1,1，所以圆的标准方程为2)1()1(22yx.考点：此题考查点到直线的距离和圆的方程.点评：简单题，知道点到直线的距离公式，求出圆的半径便可轻松解答.7．(𝑥−4)2+𝑦2=4或𝑥2+(𝑦+4√3)2=36【解析】分析：先设圆标准方程，再根据两圆外切得两圆心距离等于半径之和，圆心到切线距离等于半径（或圆心与切点连线垂直切线），切点在圆上三个条件列方程组，解方程组可得所求圆方程.详解：设所求圆的方程为，则①；或答案第4页，总9页②；或③；或④.联立其中三个解得或故所求方程为：或点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(𝑎,𝑏)和半径𝑟有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于𝑎,𝑏,𝑟的方程组，从而求出𝑎,𝑏,𝑟的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．8．221789()()222xy【解析】圆心17(,)22C，892r，故221789()()222xy.9．（1）𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦=0；（2）2.【解析】【分析】(1)设所求圆的方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0，将𝑂(0,0)、𝐴(−2,4)、𝐵(1,1)代入，列方程组求解即可；(2)由圆的方程求得圆心坐标为𝐶(−1,2)，半径为√5，利用斜截式求得直线方程为𝑦=−43𝑥−1，即4𝑥+3𝑦+3=0，利用点到直线距离公式，结合勾股定理求得弦长，根据三角形面积公式可得结果．【详解】(1)设所求圆的方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0，则{𝐹=04+16−2𝐷+4𝐸+𝐹=01+1+𝐷+𝐸+𝐹=0，解得𝐷=2，𝐸=−4，𝐹=0．∴圆C的方程为𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦=0；(2)圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦=0的圆心坐标为𝐶(−1,2)，半径为√5．直线l的方程为𝑦=−43𝑥−1，即4𝑥+3𝑦+3=0．答案第5页，总9页圆心到直线l的距离𝑑=|−1×4+2×3+3|√42+32=1，|𝑃𝑄|=2√(√5)2−1=4．∴△𝑂𝑃𝑄的面积𝑆=12×4×1=2．【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(𝑥,𝑦)，根据题意列出关于𝑥,𝑦的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.10．（1）圆心坐标为（-5，-5），半径为4.（2）（x+5）2+（y-12）2=169.【解析】试题分析：（1）配方，将圆方程一般式化为标准式，即得圆C的圆心坐标和半径；（2）设圆D标准方程，根据直线与圆相切得圆心到切线距离为半径，根据垂径定理列弦长与半径关系，解方程组可得结果.试题解析：解：（I）将圆的方程改写为（x+5）2+（y+5）2=16，故圆心坐标为（-5，-5），半径为4.（II）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=（r-1）2+52，解得r=13.此时圆心纵坐标b=r-1=12.所以圆D的方程为（x+5）2+（y-12）2=169.11．（1）(𝑥−4)2+(𝑦−2)2=10（2）𝑦=−2𝑥+5【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，过𝑀点的直径所在直线方程为𝑦−3=−13(𝑥−1),再联立{𝑦−3=−13(𝑥−1)𝑦=12𝑥求得圆心坐标为(4,2),再求得半径即得圆的方程.（Ⅱ）先求得直线𝑂𝑁方程为𝑦=−13𝑥，由{𝑦=−13𝑥(𝑥−4)2+(𝑦−2)2=10可得𝑁点坐标为(3,−1)，再利用两点式写出直线l的方程.【详解】（Ⅰ）由题意，过𝑀点的直径所在直线方程为𝑦−3=−13(𝑥−1)答案第6页，总9页{𝑦−3=−13(𝑥−1)𝑦=12𝑥解得{𝑥=4𝑦=2，∴圆心坐标为(4,2)半径𝑟2=(4−1)2+(2−3)2=10∴圆𝐶的方程为(𝑥−4)2+(𝑦−2)2=10（Ⅱ）∵以𝑀𝑁为直径的圆过原点，∴𝑂𝑀⊥𝑂𝑁又𝑘𝑂𝑀=3∴𝑘𝑂𝑁=−13∴直线𝑂𝑁方程为𝑦=−13𝑥由{𝑦=−13𝑥(𝑥−4)2+(𝑦−2)2=10，可得𝑁点坐标为(3,−1)∴直线𝑀𝑁方程为𝑦+13+1=𝑥−31−3即直线𝑙的方程为𝑦=−2𝑥+5【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.12．（1）(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=5；（2）𝑦=34𝑥−2或𝑥=4【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为√5，可得圆C的方程．(2)把圆的弦长转化为圆心到直线的距离，讨论k存在和不存在两种情况.【详解】（1）由已知，得圆心在经过点P（4，0）且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），半径为．所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．答案第7页，总9页（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为𝑦−5=𝑘(𝑥−4)，即𝑘𝑥−𝑦+5−4𝑘=0.因为|MN|=2，圆C的半径为，所以圆心到直线的距离d=2|4−2𝑘|√𝑘2+1=2,解得𝑘=34，所以直线𝑦=34𝑥−2,②当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意综上直线l为𝑦=34�