向量及其应用—小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)

1狂刷38空间向量及其应用1．若直线𝑙1、𝑙2的方向向量分别为a=(1,2,−2)，b=(−2,3,2)，则𝑙1与𝑙2的位置关系是A．𝑙1⊥𝑙2B．𝑙1∥𝑙2C．𝑙1、𝑙2相交不垂直D．不能确定2．设平面的一个法向量为11,2,2n，平面的一个法向量为22,4,kn，若∥，则kA．2B．-4C．-2D．43．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，OA→＋λOB→与OB→的夹角为120°，则λ的值为A．±66B．66C．－66D．±64．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是A．(－1，1，1)B．333,,)333（C．(1，－1，1)D．333,,)333（5．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为11,,22，则m为A．－4B．－6C．－8D．86．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直27．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且13ACAB，则点C的坐标为A．715,,222B．3,3,28C．107,1,33D．573,,2228．如图，已知正三棱柱111ABCABC的棱长均为2，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值是A．32B．12C．14D．09．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是A．655B．455C．255D．5510．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为3A．(1，1，1)B．23，23，1C．22，22，1D．24，24，111．已知四棱锥PABCD中，4,2,3AB，4,1,0AD，6,2,8AP，则点P到底面ABCD的距离为A．2613B．2626C．1D．212．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP→＝34OA→＋18OB→＋tOC→，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝___________.13．已知向量(2,0,1)a，(1,2,)xb，若ab，则x___________，若2ab(3,2,5)，则x___________．14．在空间直角坐标系中，点(0,0,1)P为平面ABC外一点，其中(1,1,0)A，(0,2,3)B，若平面ABC的一个法向量为(1,,1)mn，则点P到平面ABC的距离为___________.15．已知直线l的方向向量为(1,1,2)e，平面的法向量为1(,,1)()2Rn，若l，则实数的值为___________.16．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→，则VA与平面PMN的位置关系是___________．17．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为___________.18．如图，在三棱锥SABC中，SASBSC，且π2ASBBSCCSA，MN、分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为______，直线SM与平面SAC所成角的大小为_________.419．在正方体1111ABCDABCD中，点E，F分别是AB，1CC的中点，则直线1AE与平面11BDF所成角的正弦值是A．155B．1510C．55D．301020．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，底面边长为2，直线1CC与平面1ACD所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为A．2B．3C．4D．521．如图，在所有棱长均为a的直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别为BB1，A1C1的中点，则异面直线AD，CE所成角的余弦值为5A．12B．32C．15D．4522．如图，四棱锥PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC∥，ABBC，3ABADPB，点E在棱PA上，且2PEEA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为A．23B．66C．33D．6323．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=3，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为A．322B．102C．2D．224．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，13,4,ABAAP是侧面11BCCB内的动点，且1,APBD记AP与平面11BCCB所成的角为，则tan的最大值为6A．43B．53C．2D．25925．如图，在正方体1111ABCDABCD中，若M是线段11AC上的动点，则下列结论不正确的是A．三棱锥MABD的正视图面积是定值B．异面直线CM，AB所成的角可为π3C．异面直线CM，BD所成的角为π2D．直线BM与平面ABCD所成的角可为π326．已知O(0,0,0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当QA→·QB→取最小值时，点Q的坐标是___________．27．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和为___________．728．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________.29．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE=___________.30．已知三棱锥PABC的外接球的球心为O，PA平面ABC，ABAC，2ABAC，1PA，则球心O到平面PBC的距离为_________.31．（2018新课标全国II理科）在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A．15B．56C．55D．2281．若直线𝑙1、𝑙2的方向向量分别为a=(1,2,−2)，b=(−2,3,2)，则𝑙1与𝑙2的位置关系是A．𝑙1⊥𝑙2B．𝑙1∥𝑙2C．𝑙1、𝑙2相交不垂直D．不能确定【答案】A【解析】由题意，直线𝑙1、𝑙2的方向向量分别为a=(1,2,−2)，b=(−2,3,2)，则ab=−2+6−4=0，∴𝑙1与𝑙2的位置关系是𝑙1⊥𝑙2．故选A．【名师点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．2．设平面的一个法向量为11,2,2n，平面的一个法向量为22,4,kn，若∥，则kA．2B．-4C．-2D．4【答案】D【解析】因为∥，所以1212224k∥，nn，解之得4k.故应选D．【名师点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.3．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，OA→＋λOB→与OB→的夹角为120°，则λ的值为A．±66B．66C．－66D．±6【答案】C【解析】OA→＋λOB→＝(1，－λ，λ)，cos120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66.故选C.94．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是A．(－1，1，1)B．333,,)333（C．(1，－1，1)D．333,,)333（【答案】B【解析】1,1,0,1,0,1ABAC，设平面ABC的法向量为,,xyzn，则00xyxz，取1,1,1xyz，则1,1,1n，观察各选项可知，与n共线的向量为333,,333.故选B．【名师点睛】在空间向量中，我们常常利用向量来求线线角、线面角和二面角，后两者需要计算平面的法向量，一般地，我们需要设法向量为,,xyzn，通过平面内的两个不共线向量12,nn构建方程组1200nnnn，其一组解可为法向量n．先计算出,ABAC，再设平面ABC的法向量为,,xyzn，利用,ABACnn即可得n．5．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为11,,22，则m为A．－4B．－6C．－8D．8【答案】C【解析】∵l∥α，∴(2，m，1)·11,,22=2+12m+2=0，∴m=﹣8．故选C．【名师点睛】本题考查了线面平行的性质、数量积的运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由l∥α，可得l的方向向量与平面α的法向量乘积为0，即可得出m的值．106．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直【答案】B【解析】由题意得，AB→＝(－3，－3，3)，CD→＝(1，1，－1)，∴AB→＝－3CD→，∴AB→与CD→共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD．故选B.7．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且13ACAB，则点C的坐标为A．715,,222B．3,3,28C．107,1,33D．573,,222【答案】C【解析】∵C为线段AB上一点，且13ACAB，∴13ACAB，∴13OCOAAB=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2）=107133，，．故选C．【名师点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．由C为线段AB上一点，且3|AC|=|AB|，可得13ACAB，利用向量的坐标运算即可得出．8．如图，已知正三棱柱111ABCABC的棱长均为2，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值是11A．32B．12C．14D．0【答案】C【解析】以AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则10,1,2A，3,0,0B，13,0,2B，0,1,0C，所以向量13,1,2AB，13,1,2BC，12所以11cos,ABBC1111ABBCABBC2222214.本题选择C选项.【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是A．655B．455C．255D．55【答案】B【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则BA＝(0，2，0)，BE＝(0，1，2)．∴cosθ＝BABEBABE＝25525.∴sinθ＝221cos55