正项级数-都是正项级数.

正项级数教学内容：1.正项级数收敛性的一般判别原则以及比较判别法2.正项级数敛散性的比式判别法和根式判别法3.正项级数敛散性的积分判别法教学重点：正项级数敛散性的比式判别法和根式判别法定理12.5正项级数收敛.有界部分和所成的数列ns定义:，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.一、正项级数收敛性的一般判别原则1.正项级数的定义2.正项级数收敛性的一般判别原则3.正项级数敛散性的比较判别法（比较原则）均为正项级数，和设11nnnnvu定理12.6（比较原则）nnvuNnN有时当若,,则(1)若1nnv收敛,则1nnu收敛；(2)反之，若1nnu发散，则1nnv发散.注意：(1)定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散(4)比较原则的缺点:须有参考级数(2)定理条件可以改为：nnvun有,(3)利用定理判别时,充分利用一些已知级数的敛散性;等如naqnn211:的敛散性考察例11:12nn例2证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数4.比较判别法（比较原则）的极限形式设1nnu与1nnv都是正项级数,如果,limlvunnn则(1)当时,二级数有相同的敛散性;l0(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;l(2)当时，若收敛,则收敛;0l1nnv1nnu注意：的常数。非而且要使极限是解题的关键是找0,nv如例121n找例2n1找例3判定下列级数的敛散性:n1sin)1(nn21)2(二、比式判别法和根式判别法——以等比级数为研究对象1.比式判别法的不等式形式定理12.7（比式判别法）设nu为正项级数，若存在某正整数0N及常数)10(qq（1）若对一切0Nn，成立不等式quunn1则级数nu收敛；（2）若对一切0Nn，成立不等式11nnuu则级数nu发散。注意：(1)定理的条件充分非必要收敛nu11quunn发散nu11nnuun1如(2)定理条件可以改为：不等式成立,n(3)判别法（1）中,q不能缺收敛nu11nnuun1如2.比式判别法的极限形式设1nnu是正项级数,如果)(lim1数或nnnuu则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.(1)比式判别法的优点:不必找参考级数.(2)当1时比值审敛法失效;,11发散级数例nn,112收敛级数nn注意：(3)条件是充分的,而非必要.收敛nu1lim1nnnuu(1)发散nu1lim1nnnuu如上例例5判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.例4判定下列级数的敛散性:)]1(41[951)]1(32[852nn例6讨论下列级数的敛散性:)0(1xnxn定理12.8（根式判别法）设nu为正项级数，且存在某正整数0N及常数)10(qq（1）若对一切0Nn，成立不等式则级数nu收敛；1qunn（2）若对一切0Nn，成立不等式则级数nu发散。1nnu3.根式判别法的不等式形式注意：(1)定理的条件充分非必要收敛nu1qunn发散nu1nnu(2)定理条件可以改为：不等式成立,n(3)判别法（1）中,q不能缺则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.设1nnu是正项级数,如果)(lim数或nnnu4.根式判别法的极限形式注意：(1)当1时根值审敛法失效;,11发散级数例nn,112收敛级数nn(1)(2)条件是充分的,而非必要.例7研究级数nn2)1(2的敛散性。解：由于212)1(2limlimnnnnnnu所以级数收敛。5.比式与根式判别法的比较共同点:极限小于1时为收敛;极限大于1时为发散;极限等于1时均不能判别不同点:比式判别法借助两项;根式判别法借助一项根式判别法比比式判别法更有效注：此时比式判别法失效。因为：23limlim1222123122mmmmmmuu61limlim2122321212mmmmmmuu即:比式判别法可以判别的,根式判别法一定可以判别;但根式判别法能判别的,比式判别法不一定能判别.例7研究级数nn2)1(2的敛散性。原因:luunnn1limlunnnlim三、积分判别法定理12.9设f为),1[上非负减函数，那么正项级数)(nf与反常积分1)(dxxf同时收敛或同时发散。证：由假设f为),1[上非负减函数，对任何正数fA,在],1[A上可积，从而有,3,2,)1()()(1nnfdxxfnfnn依次相加可得)1()()1()()(11212mnmnmmnnfnfdxxfnf若反常积分收敛，则由上式左边，对任何正整数m有：111)()1()()1()(dxxffdxxffnfSmmnm根据定理12.5，级数)(nf收敛。反之，若)(nf为收敛级数，则由（1）式右边，对任一正整数)1(m有)2()()(11SnfSdxxfmm因为f为非负减函数，故对任何正数A，都有1,)(01nAnSSdxxfnA结合（2）式及定理11.2得反常积分1)(dxxf收敛。同理可证它们同时发散。例6讨论P级数pn1的敛散性。解：函数pxxf1)(，当0p时在),1[上是非负减函数，由第十一章知反常积分1pxdx在1p时收敛，1p时发散。故由定理12.9得pn1当1p时收敛，当10p时发散，至于0p的情形，则可由定理12.1推论知它发散.例7讨论下列级数的的敛散性32)ln)(ln(ln1)2()(ln1)1(npnpnnnnn.解:研究反常积分2)(lnpxxdx,由于2)(lnpxxdx2)(ln)(lnpxxd2lnpudu当1p时收敛，1p时发散。故由定理12.9得(1)在1p时收敛，1p时发散.对于(2),考察反常积分3)ln)(ln(lnpxxxdx,同样可推得级数(2)在1p时收敛，1p时发散。思考题设正项级数1nnu收敛,能否推得12nnu收敛?反之是否成立?思考题解答由正项级数1nnu收敛，可以推得12nnu收敛,nnnuu2limnnulim0由比较原则知收敛.12nnu反之不成立.例如：121nn收敛,11nn发散.