高中数学人教版选修1-1-1.2.1充分条件和必要条件-教案(系列二)

专业文档珍贵文档1.2充分条件与必要条件一：教法分析●三维目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．●重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．二：方案设计专业文档珍贵文档●教学建议基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．●教学流程创设问题情境，通过对生活中的实际问题引出：真假命题中条件与结论有何关系？⇒引导学生通过对比、分析以上问题的答案，引出充分条件、必要条件的概念.⇒通过引导学生回答所提问题，得出四种条件的概念及判断方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断p是q的什么条件的方法，加深对概念的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握充分、必要条件的应用，进一步巩固概念.⇒分析充要条件的特点，完成例3及其变式训练，从而解决充要条件的证明问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学课标解1.理解充分、必要、充要条件的意义．(重点)2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性．(重点、难点)专业文档珍贵文档读充分条件、必要条件与充要条件【问题导思】观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，qDp；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pDq，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pDq，且qDp.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【提示】p⇔q.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，专业文档珍贵文档简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断例1(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路探究】(1)Δ＝b2－4ac与方程有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？【自主解答】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根DΔ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但qDp，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D(2)A（一）规律方法1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．专业文档珍贵文档(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．（二）变式训练已知如下三个命题中：①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵abDac2bc2(c＝0)，但ac2bc2⇒ab.∴“ab”是“ac2bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2⇒a1＝1b，即ab＝1，∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔m＜－2或m＞6.∴是充要条件，④正确．【答案】①③④充分条件、必要条件、充要条件的应用例2(2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax－2a2＞0的解集为B(其中a＜0)．(1)求集合B；(2)设p：x∈A，q：x∈B，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【思路探究】(1)不等式x2－ax－2a2＞0的解集是什么？(2)由“綈p是綈q的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系专业文档珍贵文档是什么？表现在集合上又是怎样的？【自主解答】(1)x2－ax－2a2＞0⇔(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞－a或x＜2a.故集合B＝{x|x＞－a或x＜2a}．(2)法一若綈p是綈q的必要不充分条件，则綈q⇒綈p，由此可得p⇒q，则A＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}由p⇒q，可得A⊆B，∴－a＜3－2＜2a，⇒a＞－1.法二A＝{x|x≥3或x≤－2}，∁UA＝{x|－2＜x＜3}，而∁UB＝{x|2a≤x≤－a}，由綈p是綈q的必要不充分条件，可得綈q⇒綈p，也即∁UB⊆∁UA，∴2a＞－2－a＜3，⇒a＞－1.（一）规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}，然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．（二）变式训练已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)．若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【解】法一由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．专业文档珍贵文档∴綈p：A＝{x|x＞10或x＜－2}，綈q：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m}．∵綈p是綈q的充分而不必要条件，∴AB.∴m＞0，1＋m≤10，1－m≥－2，解得0＜m≤3.∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}．法二由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m(m＞0)，∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．∵綈p是綈q的充分不必要条件，∴q也是p的充分不必要条件，∴BA.∴m＞0，1＋m≤10，1－m≥－2，解得0＜m≤3.∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}.充要条件的证明例3求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m＜13.【思路探究】先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立．【自主解答】充分性(由条件推结论)：∵0＜m＜13，∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m＞0，∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x1、x2，当0＜m＜13时，x1＋x2＝2m＞0且x1x2＝3m＞0，故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m＜13⇒方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，专业文档珍贵文档则有Δ＝4－12m＞0x1x2＞0，∴0＜m＜13，即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m＜13.综上，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜13.（一）规律方法1．证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．（二）变式训练求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.【证明】假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.(1)证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.(2)证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a