北航矩阵论学习笔记

北京航空航天大学矩阵理论A笔记任课教师：赵迪编辑：张京蕊北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系写在前边编者按：矩阵理论A课程是我校一门研究生公共课程，本人特将2008年秋季本课程赵迪老师大班的笔记整理成电子版，以供后人学习、参考之用。本笔记包括七大部分，编号从零至六。众所周知，赵老师上课从不用课件，完全是板书，所以选这门课程的同学每堂课必然要仔仔细细的记笔记，虽然我把赵老师这门课程的笔记整理成了电子版，但仍不鼓励大家拿着打印稿，不记笔记，甚至不去上课。俗话说：“好记性不如烂笔头。”勤奋一些，平时认认真真把笔记记清，可以巩固对这门课程知识的记忆，为以后考试和应用打好基础，事半功倍。同时严正声明：禁止将此笔记用于任何商业用途。虽然这个电子版是我搞出来的，但我仍认为这套笔记的版权应该归赵老师或者北航理学院所有，希望同学不要因贪小利而忘大义。昀后，希望这份电子版的笔记能够给同学们学习这门课程带来方便，祝同学们在北航生活、学习、工作愉快！矩阵理论A笔记北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系目录§0补充公式...................................1§1Jordan（约当）标准形（简介）..............11§2线性变换与矩阵............................24§3欧式空间与R分解..........................48QA§4常用矩阵分解..............................74§5范数与级数................................81§6广义逆+..................................97§7直积拉直及应用...........................105矩阵理论A笔记北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系§0补充公式令A=(aij)n×n∈Cn×n，f(x)=a0+a1x+…+amxm定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==1001#%#nII若g(x)=b0+b1x+…+bkxk，f(x)•g(x)=g(x)•f(x)，则f(A)•g(A)=g(A)•f(A)分块公式令，A1，A2为方阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2100AAA则：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=kkkAAA2100（2）()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2100AfAfAf，f(x)为多项式令，A1,…,As为方阵()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=sAOAAA%21*则：（1）()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=kskkkAOAAA%21*（2）()()()()()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=sAfOAfAfAf%21*相似关系：A∽B，（P-1AP=B）则：（1）(P-1AP)k=P-1AkP，（k=0,1,2,…）（2）f(P-1AP)=P-1f(A)P，f(x)为多项式许尔公式（schur）：每个复方阵，A=(aij)n×n都相似于上三角形。共113页矩阵理论A笔记第1页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系即：，其中λ1,…,λn的次序可以任意指定()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛∗=−nOAPPλλλ%211Pf：用归纳法n=1时成立可以设为(n=1)阶方阵成立对于n阶方阵A=(aij)n×n设特征值为λ1,…,λn取λ1对应的特征向量，记为α1≠0，Aα1=λ1α1把α1扩展为可逆方阵Q=(α1,α2,…,αn)∴QTQ=In=(e1,e2,…,en)又∵Q-1(α1,α2,…,αn)=(Q-1α1,Q-1α2,…,Q-1αn)其中，，…，111001eQ=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−#α221010eQ=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−#αnneQ=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−1001#α∴()()()()()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∗=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=∗∗=∗∗∗===−−−−−111111112112111A000,,,,,,,,,,,,,λλαλλααααααα为记#########QQAAAQAQAQQnn，其中A1为(n-1)阶∴由假设，对于A1必有(n-1)阶P1，可推出⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∗=−n21Oλλ%APP∴得证。Eg.知n阶方阵A，适合Ak=0，则|A+I|=1共113页矩阵理论A笔记第2页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系Pf：任意特征值⇒=0kA00k=⇒=λλ即全体特征值为0,0,…,0由需要10O011=+⇒⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∗=−−IAPPAPP%∵()1111=+⇒+=+=+−−−IAIAPIAPIPPAPP注：（1）若A∽B（相似），则A、B有相同特征值λ1,…,λn可引入记号：谱集(){}nAλλλσ,,,21=（全体特征值，含重复）∴A∽()()BABσσ=⇒（2）A∽()()()nBIAIBλλλλλλλλ−−−=−=−⇒21，特征多项式∵()BIPAIPAIBAPP−=−=−⇒=−−λλλ11引理：若，则|λI–A|=|λI1–A|=|λI1–A1||λI2–A2|⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2100AAA()()()21AAAσσσ∪=⇒即{λ1,λ2,…,λn}={λ1,λ2,…,λk}∪{λk+1,λk+2,…,λn}设，f(x)为多项式，则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛∗=nOBλλλ%21()()(()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∗=nfOfBfλλ%1)引理：若n阶方阵A的谱集σ(A)={λ1,λ2,…,λn}，则f(A)的全体特征值为{f(λ1),f(λ2),…,f(λn)}，f(x)为多项式Pf：由许尔定理，A∽∽()AfOBn⇒⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∗=λλ%1()()()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∗=nfOfBfλλ%1()xf⇒的全体特征值为{f(λ1),f(λ2),…,f(λn)}，f(x)为多项式例如：λ为A的特征值为Ak的特征值。（f(x)=xk）kλ⇒共113页矩阵理论A笔记第3页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系引理：令，f(x)=|xI–B|=(x-λ1)(x-λ2)…(x-λn)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∗=nOBλλ%1则f(B)=(B-λ1I)(B–λ2I)…(B–λnI)=0Pf：当n=2时，，f(x)=(x-λ1)(x-λ2)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∗=210λλB()()()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∗−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∗=−−=⇒00000000211221λλλλλλIBIBBf∴得证Cayley★公式：设n阶方阵A的特征多项式为f(x)=|xI–A|=a0+a1x+…+xn则f(A)=a0I+a1A+…+An=0Pf：由许尔()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛∗==−nOBAPPλλλ%211()()()011===⇒−−BfAPPfPAfP（引理）定义：若多项式f(x)使f(A)=0，则称f(x)为A的一个零化式结论：方阵A的特征多项式f(x)=|xI–A|为A的一个零化式Eg：，特征多项式f(x)=x2+1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=0110A可知：()010012=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+=IIAAf且f(x)=|xI–A|=(x-i)(x+i)，（1,12−=−=ii）f(A)=(A-iI)(A+iI)=0也可取，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=iiP11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−iiP11211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−1001iAPP，对角形共113页矩阵理论A笔记第4页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系Eg：知()nnOA×⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∗=00%，则An=0由Cayley特征多项式：()()0==⇒=nnAAfxxfEx.1.，求P使得P-1AP为对角阵，并验证Cayley定理。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1111A2.，求f(x)=|xI–A|验证f(A)=0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=dcbaA补充知识（schur公式、Cayley公式）应用由An=-(a0I+a1A+…+an-1An-1)①()nnnnAaAaAaAAA12101−++++−=•=⇒②把①代入②()()()11−+∗++∗+∗=⇒nnAAIA可知：任何Am(m≥n)都可写成I,A,…,An-1的线性组合。任何多项式g(A)，可写成I,A,…,An-1的组合。Eg：若|A|≠0，f(x)=|xI–A|=a0+a1x+…+xn，a0=|-A|≠0则A-1可用A的多项式表示∵a1A+a2A2+…+an-1An-1+An=-a0IA(a1I+a2A+…+an-1An-2+An-1)=-a0I()1211011−−−−+++−=⇒nnnAAaIaaA零化式定义：若g(x)=b0+b1x+…+bmxm，使得g(A)=b0I+b1A+…+bmAm=0，称g(x)为方阵A的零化式注：方阵A的零化式有无穷多个∵取特征多项式f(x)则f(A)=0任取式h(x)，()()()()xhxfAhAf⇒=0也是零化式极小式定义：在方阵A的零化式集合中，去次数昀小的且首项系数为1的零化式mA(x)，称它为A的极小式共113页矩阵理论A笔记第5页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系注：极小式唯一性质：①极小式m(x)必为特征多项式f(x)=|xI–A|的因式。②特征多项式f(x)=|xI–A|的每个单因子(x-λ)也是极小式的因子。③若()()()()snsnnxxxAxIxfλλλ−−−=−=2121，则极小式()()()()slsllxxxxmλλλ−−−=2121，且1≤l1≤n1,1≤l2≤n2,…,1≤ls≤ns，λ1,λ2,…,λn互不相同。Eg.，，求极小式mA(x)，mB(x)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100020012A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100020002B解：（1）|xI–A|=(x-2)2(x-1)极小式为：(x-2)2(x-1)或(x-2)(x-1)计算：()()00000100111000000102≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−IAIA∴极小式为mA(x)=(x-2)2(x-1)（2）|xI–B|=(x-2)2(x-1)计算：()()00000100011000000002=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−IBIB∴极小式为mB(x)=(x-2)(x-1)Eg.求下列极小式m(x)（1），（2），⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=163053064A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=232032064B（3），（4）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1000010000100012C⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200001012D解：（1）特征多项式|xI–A|=(x-1)2(x+2)极小式为：(x-1)2(x+2)或(x-1)(x+2)共113页矩阵理论A笔记第6页北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系验证：(A-I)(A+2I)=0∴极小式为m(x)=(x-1)(x+2)（3）解法如下引理：A1，A2的极小式为m1(x)，m2(x)则的极小式m(x)等于m1(x)，m2(x)的昀小公倍式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2100AA（此引力可推广到A1,A2,…,As）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1000010000100021C，极小式为(x-1)2，极小式为(x-1)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10211A⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10012A取昀小公倍式(x-1)2为C的极小式。（5），，662100×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=AAF⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=2100200121A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=1630530642A引理：设，则D的极小式m(x)=xn⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=01010OOD%%验证：先证D的性质（右推公式）设A=(aij)n×n=(α1,α2,…,αn)则有AD=(0,α1,α2,…,αn-1)AD2=(0,0,α1,…,αn-2)ADk=(0,…,0,α1,…,αn-k)单位向量技巧：∵AI=A(e1,e2,…,en