2017年江苏省专转本高数一定积分

-106-第四章定积分本章主要知识点定积分计算特殊类函数的定积分计算变限积分定积分有关的证明题广义积分敛散性定积分应用（1）面积（2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设CxFdxxf)()(，则()()()()bbaafxdxFbFaFx。其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：111()()()()()(())xtbbaatxfxdxfttdt。例4.1．11(ln1)exdxx解：原式=e1(ln1)lnxdx=32125((ln)ln)|33exx例4.2．3011xdxx解：原式txtx112221121ttdtt=32121ttdtt=322125()|33tt例4.3．202sinxdxx第四章定积分-107-解：原式=202cos21xxd=20202cos21|2cos21xdxxx=20|2sin414x=4二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。例4.4．21|1|dxx解：原式=1211(1)(1)xdxxdx212|)2(2xx)121(0225例4.5．22|)1||1(|dxxx解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)xxdxxxdxxxdx=112211(11)(11)(11)xxdxxxdxxxdx=112211222xdxdxxdx=212122|4|xx=)14(4)41(=102．分段函数积分例4.6．0,10,)(2xxxxxf，求11)(dxxf解：原式=0110)()(dxxfdxxf=01102)1(dxxdxx=103012|31|)2(xxx=31)121(=65第四章定积分-108-例4.7．1,1,12)(xxxxxf，求12)1(dxxf解：原式11221(1)()uxfxdxfudu1211()()fudufudu1222111(21)0()uduuduuu6243．奇函数积分如果()fx为定义在,aa的奇函数，则()0aafxdx，这是一个很重要考点。例4.8．20082423arctan01xxdxx例4.9．333214441sin()1xxxedxx解：原式111110xxedxeee例4.10．42222cossin2(1)(2)xxxxxxedxxx解：原式222200()xxxxedxxee22(1)(1)22ee例4.11．()fx为[-a,a]上的连续函数，计算2(()()ln(1))aafxfxxxdx解：2()(),ln(1)fxfxxx为奇函数，原式＝04．关于三角函数积分对积分2200sincosnnnIxdxxdx成立：第四章定积分-109-22123122(2)22nnnInn；2122(1)2121213nnnInn这个结论应牢记，对于某些三角函数积分可以做到快捷。例4.12．2620sincosxxdx解：原式2620(1cos)cosxxdx685317531642286422II5256例4.13．7220sincosxxdx解：原式27202sincosxxdx972II.5．一些特殊的含有特定技巧的积分例4.14.1211sin()1xxdxe解：令tx，原式＝I＝112211sinsin11txtxeetdtxdxJee，121sin1IJxdx，则I＝12。例4.15．40ln(1tan)xdx解：令,4tx原式＝I＝0440041tan2ln(1tan())ln(1)ln()41tan1tanttdtdtdttt第四章定积分-110-＝ln24I，解得I＝ln28。例4.16．20sin1sinxxdxx解：令tx，原式＝I＝－020sin()sin()()1sintttdttdttt＝20sin1sintdtIt，I＝20sin21ln21sin2221xdxx三、变限积分变上限积分是函数的另一种重要形式。求导公式xaxftdtfx（其中.aconst）是一个非常重要的公式，它提供了利用导数来研究它的工具．更一般的结论是：212211xxdftdtfxxfxxdx例4.17．020sinln14limtan(121)xxttdtxx解：原式030sinln14limxxttdtx20sinln14lim3xxxx204lim3xxxx43例4.18．22tan320sin020(1)limsin2txxxttedtetdt解：原式22tan322sin220tan1seclimsin22sincosxxxxexexxx23402lim42xxxxx161例4.19．已知220xtfxtedt，研究xf的单调性，凹凸性．第四章定积分-111-解：22xfxxe22222xxfxxexex2212xexx由0,0fxfx得1,0xxx,111,000,111,fxfxfx拐点拐点拐点例4.20．若3()(2)xxpxfxtdt，其中)(xf是已知一阶可导函数，求dxdp，22dxpd解：25511()()()22uxtxxxxpxfudufudu1(()5(5))2dpfxfxdx，22125()(5)22dpfxfxdx例4.21.已知函数xf连续。且2lim0xxfx。设10xfxtdt，求x，并讨论x的连续性。解：．当0x时，100011()()()()uxtxxxfxtdtfudufuduxx；当0x时，)0()0()(10fdtfx由0()lim2xfxx，故(0)0f，0(),0()00xfuduxxxx当0x，02()()()xxfxfuduxx,第四章定积分-112-000()0()(0)(0)limlimhhhfuduhhhh0200())limlim12hhhfudufhhh（,00220000()()()()lim()limlimlimxxxxxxxfxfudufudufxxxxx0()2lim211(0)2xfxx,所以，()x点点连续。四、有关定积分的证明题有关定积分的证明题，主要的方法有：（1）线性交换，如baxt（2）变上限求导公式（3）恒等变形。例4.22．如果)(xf为[,]aa上的奇函数，证明0)(dxxfaa。证明：0000()()()()()txaaaaaafxdxfxdxfxdxftdtfxdx令0000()()()()aaaaftdtfxdxftdtfxdx00()()0aafxdxfxdx例4.23．证明：2200(sin)(cos)fxdxfxdx，其中)(xf为已知可积函数。证明：左边2002022(sin())(cos())(cos())2txftdtftdtftdt例4.24．已知)(xf是以0T为周期的连续函数，那么对任何实数a成立0()()aTTafxdxfxdx证明：00aTTaTaaTfxdxfxdxfxdxfxdx由于000txTaTaaTafxdxftTdtftdtfxdx第四章定积分-113-所以0000aTTTaaafxdxfxdxfxdxfxdxfxdx例4.25．证明：22222220cos4sincosfxdxfxfx，f为任一非零可积函数。证明：I原式222022222cossincosxtftdtftft22222220coscoscosfxdxfxfx2222222220sincos22sincosfxfxIdxfxfx，所以4I。例4.26．证明：991902sin1101021xdxx证明：当01x时，成立2sinxxx，所以999992sin21xxxx，所以，成立99911199990002211010221xxdxxdxx例4.27．证明：000xxuxufudufxdxdu证明：000xxxddxufuduxfuduufududxdx00xxfuduxfxxfxfudu00000xxxxuxufudufududxCfxdxduC两边同时取00xC，所以原命题成立。第四章定积分-114-五、广义积分的敛散性定义：()lim()uaaufxdxfxdx存在有限基本结论：111papdxxp收敛，发散，（其中0a）复习时应着重掌握通过直接计算来研究广义积分的敛散性。例4.28．研究11(1)dxxx的敛散性解：111lim2lim1(1)uuuudxdxxxx12limarctan2lim(arctan)2()4242uuuxu所以，dxxx1)1(1是收敛的。例4.29．21,4kdx求k解：左边arctan()1222222kxkk，2k。例4.30．当k为何值时，广义积分2(ln)kdxxx收敛？当k为何值时，这个广义积分发散？又当k为何值时，广义积分取得最小值？解：当1k时，有11222(ln)(ln)(ln)11kkkdxxxxxkk1,1)2(ln1,1kkkk当1k，22)ln(lnln1xxx发散，即，当1k时，广义积分2)(lnkxxdx收敛；1k时，广义积分发散。第四章定积分-115-设1(ln2)()11kfxkk，则112(ln2)lnln2(1)(ln2)()(1)kkkfkk21)1(]12lnln)1[