信号与系统(第三版)西安电子科技大学出版社陈生潭第1-5章-第4章

信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-1页■电子教案第四章连续系统的s域分析4.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域三、(单边)拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的性质4.3拉普拉斯变换逆变换4.4复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的s域框图四、电路的s域模型点击目录，进入相关章节第四章连续系统的s域分析信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-2页■电子教案4.5系统微分方程的S域解4.6电路的s域求解4.7连续系统的表示与模拟4.8系统函数与系统特性信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-3页■电子教案频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-4页■电子教案4.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为f(t)e-t=de)(21tjbjFFb(+j)=ℱ[f(t)e-t]=ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtf令s=+j,d=ds/j，有信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-5页■电子教案4.1拉普拉斯变换tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的拉氏逆变换的物理意义120()()()2()cos[()]jstjjttftFsedsFedfFsetsdfst利用拉氏变换，可将f(t)分解成众多复指数信号Ae或形如cos[()]信号的线形组合。tAets信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-6页■电子教案4.1拉普拉斯变换例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。解]eelim1[)(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF1,Re[]ss不定,=无界,可见，对于因果信号，仅当Re[s]=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。σjω0α收敛域收敛边界双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-7页■电子教案4.1拉普拉斯变换例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。解]eelim1[)(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，，不定无界)(1.]Re[,ss可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。σjω0β信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-8页■电子教案4.1拉普拉斯变换例3双边信号求其拉普拉斯变换。0,e0,e)()()(213tttftftftt求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当时，其收敛域为Re[s]的一个带状区域，如图所示。σjω0βα信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-9页■电子教案4.1拉普拉斯变换例4求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解2131)()(11sssFtfRe[s]=–22131)()(22sssFtfRe[s]=–32131)()(33sssFtf–3–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-10页■电子教案4.1拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为0de)()(ttfsFst称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst简记为F(s)=£[f(t)]f(t)=£-1[F(s)]或f(t)←→F(s)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-11页■电子教案4.1拉普拉斯变换四、常见函数的单边拉普拉斯变换00111.()1,2.()或1,03.(),4.指数信号sstsstttse信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-12页■电子教案4.1拉普拉斯变换0令s11,,tstsee11,0,0jtsjjtsjee1(),0st0令sj0令s0信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-13页■电子教案4.1拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系0de)()(ttfsFstRe[s]0ttfFtde)()(jj要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：（1）00，即F(s)的收敛域包含j轴，则f(t)的傅里叶变换存在，并且F(j)=F(s)s=j如f(t)=e-2t(t)←→F(s)=1/(s+2),-2；则F(j)=1/(j+2)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-14页■电子教案4.1拉普拉斯变换（2）0=0，即F(s)的收敛边界为j轴，)(lim)(j0sFF如f(t)=(t)←→F(s)=1/s2202200limlim1lim)(jjjF=()+1/j（3）00，F(j)不存在。例f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2),2；其傅里叶变换不存在。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-15页■电子教案4.2拉普拉斯变换性质4.2单边拉普拉斯变换性质一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]1,f2(t)←→F2(s)Re[s]2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]max(1,2)例f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，00022000022000cos()/2,0sin()/2,0jtjtssjtjtsteeteej信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-16页■电子教案4.2拉普拉斯变换性质例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=)ee1(e2sssss求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s))e2e1(2e82222sssss)e2e1(e22222sssss二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]0，且有实数a0，则f(at)←→)(1asFaRe[s]a0信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-17页■电子教案4.2拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性若f(t)-----F(s),Re[s]0,且有实常数t00,则f(t-t0)(t-t0)-----e-st0F(s),Re[s]0与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)←→asFasat0e1011f1(t)t01-11tf2(t)-t2(2)2211例1：e(2)(2)tssteetee信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-18页■电子教案4.2拉普拉斯变换性质121T1T111()211例2：单边冲激()1例3：单边周期信号f()()()()(2)()(1)sTsTsTsTeFSsTsTeteettftftTftTFsee1f()tTf()()tt0T2T3T……t信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-19页■电子教案四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]0+a例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=12ss求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→)1(322e9)1(1sss2-2t2(2)9例2：ecos3sst223(2)9sin3tset信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-20页■电子教案4.2拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)f(n)(t)←→snF(s)–10)(1)0(nmmmnfs若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)11例1：()()(0)1sstts'()ts()()nnts信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-21页■电子教案4.2拉普拉斯变换性质ddt例2：[cos2]?tddt例3：[cos2()]?ttddt例4：[()]tsset''例5：微分方程i()5()6()3(),初始条件(0)0,(0)1,求().ttititetiiit解设i(t)I(s),方程两边取拉氏变换2'3(1)2(4)(1)(4)1.520.5(1)(2)(3)123-t23()(0)(0)5[()(0)]6()(56)()()取拉氏反变换i(t)=1.5e20.5,0ssssssssssttsIssiisIsiIsssIsIseet信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-22页■电子教案4.2拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）-0t(-1)(-1)1-s-t(-1)F(s)s0F(s)s若f(t)F(s)(单边拉氏变换)，Re[s]，则(1)f(t)=f()d+f(0)(2)f(t)=f()d(1)结论要求()的单边拉氏变换的收敛域Re[s]0.ft100证：()[()][()]t