第1章线性规划模型和单纯形法

运筹学OperationsResearch第1章线性规划模型和单纯形法LinearProgrammingandSimplexMethod1.1LP的数学模型及标准型1.2图解法1.3单纯形法1.理解什么是线性规划模型，掌握线性规划在管理及生产中的应用2.掌握线性规划数学模型的组成及其特征3.清楚线性规划数学模型的一般表达式。1.1线性规划数学模型MathematicalModelofLinearProgramming线性规划（LinearProgramming,缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？1.1.1应用模型举例产品资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润（元/件）403050表1.1产品资源消耗321503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，，【解】设x1、x2、x3分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：产品资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润（元/件）403050最优解X=(50,30,10);Z=3400目标函数资源约束线性规划的数学模型由决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction约束条件Constraints构成。称为三个要素。其特征是：1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。表1.2营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四400【解】设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为7,,2,1,0550600480400350300300min765436543254321743217632176521765417654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZj星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四400目标函数：总人数最少约束条件：上班人数大于每天需要人数1X10C1404=3001042X267C2301=30013X3146C3350=35004X4170C4400=40005X597C5480=48006X6120C6600=60007X717C7550=5500最优解：Z＝617（人）【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？【解】这是个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。表1．3下料方案方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.5设xj(j=1,2…,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.5102,1,010005423210002342100022min10987542987643154321101，jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。1X15002X203X304X405X506X662.57X708X809X925010X100Z＝812.5最优解：【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表1.4矿石的金属含量合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190解:设xj（j=1,2，…，5）是第j种矿石数量，得到下列线性规划模型矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,,5jxxxxj注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。1X102X20.33333X304X40.58335X50.6667最优解：Z=347.5第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5第一年：x1+x2=200(万元)第二年：(x1/2+x3)+x4=x2第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型【解】设x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金x7：第四年新的投资x8：第四年的保留资金x9：第五年的保留资金【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。7912123413456356785789max22002220422204222042200,1,2,,9jZxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj1X155.28462X2144.71553X3117.07324X405X552.03256X607X7208.13018X809X90最优解：Z＝416.26万元x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金x7：第四年新的投资x8：第四年的保留资金x9：第五年的保留资金【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。【解】设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是)31,21min(21xxy设备A、B每天加工工时的约束为60831096082452121xxxx要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为60)109()452121xxxx（目标函数线性化。产品的产量y等价于2131,21xyxy整理得到线性规划模型约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式60)109()45(60)109()45(21212121xxxxxxxx121212121212max1213549609101440466046600Zyyxyxxxxxxxxxyxx－－、、【例1.7】（书上P4例1.1-1题）饼干生产问题。某厂生产两类饼干，需搅拌机A1，成形机A2，烘箱A3三种设备，每天的所需机时及机时限制，利润指标如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？【解】设x1、x2为每天生产Ⅰ、Ⅱ两种饼干的产量（单位：吨），则目标函数是产品资源ⅠⅡ每天现有工时搅拌机A13515成形机A2215烘箱A32211利润/（百元/吨）5412max54zxx约束条件有：搅拌机约束成形机约束烘箱约束非负约束123515xx1225xx122211xx120xx，本问题的数学模型1212121212max54.54152522110,0zxxstxxxxxxxx【例1.8】（书上P6例1.1-2题）运输问题。总公司收到上海B1，青岛B2，西安B3三家商场的电机订单，需求分别为100台，80台，90-120台，现有北京A1，武汉A2二个仓库，库存分别为200台，150台，所需运费如下表，问如何调运电机，可使总运费最少？B1B2B3库存A1152118200A2202516150需求1008090-120【解】设xij为从仓库Ai调到商场Bj的电机数量（i=1,2,j=1,2,3），则目标函数是111231212223min152118202516zxxxxxx库存约束需求约束非负约束111213200xxx