§15.3--收敛定理的证明--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

§15.3收敛定理的证明数学分析第十五章傅里叶级数数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社预备定理1（贝塞尔(Bessel)不等式）本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明,若函数f在[π,π]上可积,2π2220π11()()d.(1)2πnnnaabfxx,nnab其中为f的傅里叶系数.§3收敛定理的证明后退前进目录退出证明两个预备定理.为此先则等式.(1)式称为贝塞尔不数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社证令01()(cossin)2mmnnnaSxanxbnx考察积分π2π[()()]dmfxSxxπππ22πππ()d2()()d()d.(2)mmfxxfxSxxSxxππ0ππ()()d()d2mafxSxxfxx由于§3收敛定理的证明ππππ1(()cosd()sind),mnnnafxnxxbfxnxx0ananb所以π2220π1π()()dπ().(3)2mmnnnfxSxxaab数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社对于2()mSx的积分.应用三角函数的正交性,有π2π()dmSxx2π0π1(cossin)d2mnnnaanxbnxx§3收敛定理的证明22πππ22220πππ1dcosdsind2mnnnaxanxxbnxx22201ππ().(4)2mnnnaab将(3),(4)代入(2)，可得π2π0[()()]dmfxSxx2π2220π1π()dπ().2mnnnafxxab数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社而π2π1[()]dπfxx为有限值,所以正项级数22201()2nnnaab的部分和数列有界,2π2220π11()()d.(1)2πnnnaabfxx成立.§3收敛定理的证明2π2220π11()[()]d,2πmnnnaabfxx因而对任何正整数m成立.因而它收敛且不等式数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社推论1若f为可积函数,则πππ-πlim()cosd0,(5)lim()sind0,nnfxnxxfxnxx因为(1)的左边级数收敛,所以当n时,通项这个推论称为黎曼－勒贝格定理.§3收敛定理的证明2π2220π11()()d.(1)2πnnnaabfxx220,00(5),nnnnabab亦即有与，这就是式（黎曼-勒贝格定理）数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社推论2π0ππ1lim()sind0,2(6)1lim()sind0,2nnfxnxxfxnxx1sincossinsincos,222xxnxnxnx证由于所以若f为可积函数,则§3收敛定理的证明π01()sind2fxnxx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社ππ00()cossind()sincosd22xxfxnxxfxnxxππ12π0()sind()cosd,(7)FxnxxFxnxx§3收敛定理的证明1()cos,0π,()20,π0,xfxxFxx2()sin,0π,()20,π0.xfxxFxx其中π01()sind2fxnxx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社式右端两项积分的极限在n时都等于零.左边的极限为零.同样可以证明0π1lim()sind0.2nfxnxx显见与和f一样在上可积.1F2F[π,π]§3收敛定理的证明由推论1,(7)所以数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社预备定理2ππ1sin12()=()d,(8)π2sin2nntSxfxttt当t=0时,被积函数中的不定式由极限01sin12lim22sin2tntnt确定.则它的傅里叶级数的部分和()nSx可写成f[π,π]若是以2为周期的函数,且在上可积,π§3收敛定理的证明数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社01()(cossin)2nnkkkaSxakxbkxππππ111()()d()cosdcos2ππnnkSxfuufukuukxππ111()coscossinsindπ2nkfukukxkukxu证在傅里叶级数部分和中,§3收敛定理的证明用傅里叶系数公式代入,可得ππ()sindsinfukuukxππ111()cos()d.π2nkfukuxu数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社令uxt,得ππ111S()()cosd.π2nxnxkxfxtktt[,]xx[,]因此在上的积分等于上的积分,由上面这个积分看到,被积函数是周期为的函数,2§3收敛定理的证明11sin12cos,(9)22sin2nkntktt再由第十二章§3的(21)式,即数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社ππ1sin12()=()d.π2sin2nntSxfxttt这就得到§3收敛定理的证明ππ111S()()cosd.π2nxnxkxfxtktt(8)式也称为f的傅里叶级数部分和的积分表达式.数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社定理15.3现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:[π,π],x则在每一点f的傅里叶级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,01(0)(0)(cossin),22nnnafxfxanxbnx,nnab其中为f的傅里叶系数.f[π,π]若以为周期的函数在上按段光滑，2π§3收敛定理的证明即数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社证只要证明在每一点x处下述极限成立:(0)(0)lim()0,2nnfxfxSxππ1sin(0)(0)12lim()d0.2π2sin2nntfxfxfxttt即或证明同时有§3收敛定理的证明数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社π01sin(0)12lim()d0,(10)2π2sin2nntfxfxttt0π1sin(0)12lim()d0.(11)2π2sin2nntfxfxttt先证明(10)式.对(9)式积分后得到§3收敛定理的证明ππππ11sin1112dcosd1,ππ22sin2nknxxkxxx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社由于上式左边为偶函数,因此两边乘以(0)fx后又得到π01sin(0)12(0)d.2π2sin2ntfxfxtt§3收敛定理的证明π01sin12lim[(0)()]d0.(12)π2sin2nntfxfxttt从而(10)式可改写为数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社()(0)()2sin2fxtfxtt令()(0)2,(0,π].sin2tfxtfxttt§3收敛定理的证明0lim()(0)1(0).ttfxfx由此得到(0)(0),fx再令则函数在点0t右连续.因为在上至多只有有限个第一类间断点,[0,π]所以在上可积.[0,π]根据预备定理1和推论2,数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社π01sin12lim[(0)()]dπ2sin2nntfxfxtttπ011lim()sind0.π2ntntt这就证得(12)式成立,从而(10)式成立.用同样方法可证(11)也成立.§3收敛定理的证明定理证毕.