2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式课件理

第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋απ2π21.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________.(2)商数关系：______________α≠π2＋kπ，k∈Z.正弦sinα______________________________余弦cosα_____________________________正切tanα__________________口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限－sinα－sinαsinαcosαcosα－cosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα－tanα－cosα诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()解析(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sinα都成立.(4)当k为奇数时，sinα＝13，当k为偶数时，sinα＝－13.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(2017·泰安模拟)sin600°的值为()A.－12B.－32C.12D.32解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.答案B3.已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A.－25B.－15C.15D.25解析∵sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα，∴cosα＝15.故选C.答案C4.已知sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则tan(2π－α)的值为()A.－255B.255C.±255D.52解析sin(π－α)＝sinα＝log814＝－23，又α∈－π2，0，得cosα＝1－sin2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝255.答案B5.(必修4P22B3改编)已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为________.解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.答案3考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)(2015·福建卷)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B.－125C.512D.－512(2)(2017·贵阳模拟)已知sinαcosα＝18，且5π4α3π2，则cosα－sinα的值为()A.－32B.32C.－34D.34(3)(2016·全国Ⅲ卷)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C.1D.1625解析(1)∵sinα＝－513，且α为第四象限角，∴cosα＝1－sin2α＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝－512，故选D.(2)∵5π4α3π2，∴cosα0，sinα0且cosαsinα，∴cosα－sinα0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.(3)tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.答案(1)D(2)B(3)A规律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】(1)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A.－1B.－22C.22D.1(2)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋2sinαcosα的值为()A.103B.53C.23D.－2解析(1)由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，得2cos2α＋22cosα＋1＝0，即2cosα＋12＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.(2)3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－13，1cos2α＋2sinαcosα＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sinαcosα＝1＋tan2α1＋2tanα＝1＋－1321－23＝103.答案(1)A(2)A考点二诱导公式的应用【例2】(1)化简：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)；(2)求值：设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，求f－23π6的值.解(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）sinα（1＋2sinα）＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.规律方法(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【训练2】(1)已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（kπ＋α）cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A.{1，－1，2，－2}B.{－1，1}C.{2，－2}D.{1，－1，0，2，－2}(2)化简：tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－α－π）sin（－π－α）＝______.解析(1)当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.(2)原式＝－tanα·cosα·（－cosα）cos（π＋α）·[－sin（π＋α）]＝tanα·cosα·cosα－cosα·sinα＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1.答案(1)C(2)－1考点三诱导公式、同角三角函数关系式的活用【例3】(1)已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________.(2)(2017·衡水模拟)已知cos5π12＋α＝13，且－πα－π2，则cosπ12－α等于()A.223B.13C.－13D.－223解析(1)∵5π6＋α＋π6－α＝π，∴tan5π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.(2)因为512π＋α＋π12－α＝π2，所以cosπ12－α＝sinπ2－π12－α＝sin5π12＋α.因为－πα－π2，所以－7π12α＋5π12－π12.又cos5π12＋α＝130，所以－π2α＋5π12－π12，所以sin5π12＋α＝－1－cos25π12＋α＝－1－132＝－223.答案(1)－33(2)D规律方法(1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等.(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等.【训练3】(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________.(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C.0D.－12解析(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sinx，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)，所以f236π＝f116π＋2π＝f116π＝fπ＋56π＝f56π＋sin56π.因为当0≤xπ时，f(x)＝0.所以f236π＝0＋12＝12.答案(1)12(2)A[思想方法]1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝sinxcosx进行切化弦或弦化切，如asinx＋bcosxcsinx＋dcosx，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ＝tanπ4＝….[易错防范]1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.