常熟理工学院-高数A2-题库系列：第10章

第10章重积分1、用先对x和先对y两种方法求Dcos(xy)dxdy，其中D由x=0,y=和y=x围成。解：（1）00cos()cos()yDxydxdydyxydx……3分011(sin(2)sin)1122yydy2……5分（2）0cos()cos()xDxydxdydxxydy……8分011(sin()sin(2))1122xxdx2……10分2、证明：2ycosxcos100dxdyI10220010yx22。解：10xy围成的图形是正方形ABCD，且边长为102……2分其面积200由于22111102100100coscosxy……4分所以221011102100100coscosABCDxyABCDdxdydxdydxdyxy22102002102100coscosxydxdyxy……6分3、计算二重积分Dxydxdy，其中216:yxyD。解：由题意，222164yyxydxdy……2分2224(8)yydy……4分952……6分4、求22D(+y)dxD为由,1,1,3yxyxyy轴围成的区域。解：3222211()()yyDxyddyxydx……3分3323111[(1)]33yyydy14……6分5、设D由2,,1yxyxy围成，试计算二重积分Ddx)1(。解：1120010(1)(1)(1)yyDxddyxdxdyxdx……3分12220111()()22yydyyydy111111(ln2)ln2624212……6分6、计算二重积分Dxydxdyye，其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。第10章重积分解：ln34ln22xyxyDyedxdydyyedx……4分ln342ln2()yyeedy……6分4242111155332242424……8分7、求使2221Daxydxdy中的a值，其中D：222ayx（0a）。解：令cossinxryr，其中02,0ra……2分于是222222300213aDaxydxdydarrdra……4分所以321122a……6分8、求DdyxD,)(2由2,2,yxyxy围成。解：D可表示为102,2yyxy……2分于是222102()()yyDxyddyxydx223031()82yydy……4分1……6分9.求sinDxdxdyx，D由2,2yxxy与2x围成的第一象限中的区域。解：由题意得积分区域为12,02,2Dxyxxyx……2分所以原式12220sinxxxdxdyx……4分203sin2xdx31cos22。……6分10．求二重积分()dxydxdy，D由1yx围成。解：由题意，积分区域可以分为1D和2D，且12D=D+D，其中1D,01,11,xyxxyx2D,10,11xyxxyx……3分所以，原式11010111()()xxxxdxxydydxxydy……5分10220122xxdxxxdx11330……8分11、求二重积分Ddxyarctan，其中D由0,12yxy及0x围成。解：令cossinxryr，其中0,012r……2分则1200arctanarctan(tan)Dyddrdrx……4分第10章重积分1200drdr……6分216……8分12.计算DdyxD,)23(由两坐标轴及2yx围成。解：由题意知该函数的积分区域为,02,02Dxyxyx……3分从而，有原式220032xdxxydy……5分220422xxdx203.……8分13．求2()Dxyd，其中D为以点(0,0),(1,1),(0,1)ABC为顶点的三角形区域.解：由题意，知该函数的积分区域为,01,1Dxyyyx.……2分所以11220()()yDxyddyxydx……4分13213013yyydy112……6分14.求dxdyxeDxy,其中D为矩形：11,30yx解：由题意得积分区域为,03,11Dxyxy……2分所以原式3101xydxxedy……4分3110xyedx30xxeedx332ee。……6分15．计算二重积分dxdyyxD2)(，其中D由2,,1yxyxy围成。解：积分区域为112(,),Dxyyxyy……2分2()Dydxdyx221211yydyxdyy……4分232311113ydyyy251113ydyy2764……8分第10章重积分16.利用极坐标计算二次积分dyyxdxx2240222。解：令cossinxryr，则积分区域为,02,0Drr……3分2242220xdxxydy220038drrd……6分17、设D是以O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）为顶点的三角形区域，求dxdyyxxD)cos(。解闭区域D可表示为01x，0yx……2分所以100xDxxydxdydxxxydycos()cos()……2分100xxdxyxdyxcos()()102xxxdx(sinsin)……4分11221142sincossincos……6分18、求Ddxdyxy2)(，D由21xy，xy及x轴围成。解闭区域D可表示为202y，21yxy……2分所以2212220()()yyDyydxdydydxxx……3分222021()yydyy128……6分19、设)(xf在]1,0[上连续，求证：10100)()()(2dxxfeedxxfedyxyy。解积分区域D可表示为201,1xxy……2分则2111000()()yyyxdyefxdxdxefxdy……4分210()()xeefxdx……6分20、求dyedxIxy1012。解积分区域可以表示为:D010,yxy则2100yyIdyedx……2分21012yeydy……4分1112()e……6分第10章重积分21、求使值的1222adxdyyxaD，其中D：222ayx（0a）。解令cossinxryr，其中020ra于是22222200aDaxydxdydarrdr……3分33202133aad……6分所以3122a……8分22、求Ddy)1(，xyxD22:。解令1cos,sinxryr其中102,02r……2分于是(1)(1sin)DDydxdyrrdrd122200(sin)drrdr……5分201sin()824d4……8分23.求Ddxyarctan，D为由21xy与x轴围成的第一象限部分区域。解：令cos,sinxryr则积分区域为0102,,Dxyr……2分所以原式1200tantandrarcdr……4分2012d216……6分24．计算二重积分Dyd，D是由xyx222和xy围成的面积小的那部分区域。解：积分区域为D：2012,xxyxx……2分所以2120xxxDyddxydy1201122xxdx16……6分25、求二重积分dxyxD)(22，其中D是由直线y＝2,y=x及y=2x所围成的闭区域。解:D101,2yyxy于是第10章重积分12222102()()yyDxyxddyxyxdx……2分1320193()248yydy……4分23……6分26、计算二重积分2()Dxydxdy，其中D是由直线12,xy及1xy所围成的区域。解闭区域D可表示为02y，11xy……2分所以210122()()yDxydxdydyxydx……3分202ydy……5分4……6分27、设)(xf在a,0上连续，axayxyxD0,),(，试证明：20d)(21dd)()(aDxxfyxyfxf。解闭区域D可表示为0ya，0xy……1分于是积分0()()()()aaxDfxfydxdyfxdxfydy00()()ayfydyfxdx……3分而0000()()()()ayaxfydyfxdxfxdxfydy，所以0002()()()()()()aaaxxDfxfydxdyfxdxfydyfxdxfydy00()(()())axaxfxfydyfydy00()()aafxdxfydy20(())afxdx……5分即201()()(())2aDfxfydxdyfxdx……6分28、计算二重积分Ddxdyyx)(，其中}2),{(22xyxyxD。解令cos,sinxyr其中,02cos22r……1分于是()(cossin)DDxydxdyrrdrd2cos2202(cossin)drdr……4分……6分29、计算二重积分Dyd：第10章重积分（1）D是由xyx222和xy围成的面积小的那部分区域。（2）D是由1,0,,xxxyeyx围成的区域。解（1）积分区域D可表示为201,2xxyxx……2分则212016xxxDyddxydy……5分（2）积分区域D可表示为01,xxxye……7分则1122200115()()243xexxDyddxydyexdxe……10分30、设Ω是由平面)0(aaz以及锥面222zyx所确定的有界闭区域，试计算dxdydzyx)(22。解区域1:22222,xyzaxya令cossinxryr，其中02,0ra……3分于是1222300()aarxydxdydzddrrdz……6分=44402245aaxadx……8分31、求曲面222yxz与曲面22yxz所围立体的体积。解Vdxdydz……1分其中:22222,zxyzxy所围成部分令cossinxryrzz，则区域可以表示为22,01,02rzrr……2分于是221200rrdxdydzddrrdz1302(22)rrdr……6分从而V……8分32、设积分区域：51,422zyx，试从直角、柱面、球面三