人教版中考数学二轮复习专题练习：函数与相似全等中的动点问题

函数与相似全等综合1.如图，在ABC中，10ABACcm，12BCcm，点D为AC边上一点，且8ADcm．动点E从点B出发，以1/cms的速度沿线段BC向终点C运动，F是射线CA上的动点，且DEFB．设运动时间为ts，CF的长为ycm．(1)求y与t之间的函数关系式及点F运动路线的长；(2)当以点B为圆心，BE长为半径的B与以点C为圆心，CF长为半径的C相切时，求t的值；(3)当CEF为等腰三角形时，求t的值．解析：(1)∵ABAC，∴CB[来源:学科网]∵180CEFDEFBED，180BDEBBED，DEFB∴CEFBDE，∴CEFBDE∽∴CFCEBEBD，∴12108ytt∴2160122yttt∵22116(6)1822yttt∴y的最大值为18cm∴点F运动路线的长为36cm(2)①当B与C外切时，点F在线段CA上，且BECFBC∴216122ttt，解得2t或12t(舍去)②当B与C内切时，点F在CA延长线上，且CFBEBC∴216122ttt，解得4t或6t综上所述，当B与C相切时，t的值为2或4或6(3)①若EFCF，则CCEF∵CB，∴FECABC∽∴FCECACBC，∴2161221012ttt解得53t或(12t舍去)②若EFEC，则CEFC∵CB，∴EFCABC∽∴ECFCACBC，∴2161221012ttt解得125t或12t(舍去)③若CFCE，则2 62112ttt解得2t或12t(舍去)综上所述，当CEF为等腰三角形时，t的值为53或2或1252.如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M．(1)求证：ADPABQ∽；(2)若10AD，20AB，点P在边CD上运动，设DPx，2BMy，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；(3)若10AD，ABa，8DP，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形内部时，求a的取值范围．解析：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴90BAD∴90PADBAP∵AQAP，∴90QAP∴90QABBAP∴PADQAB又∵90DABQ∴ADPABQ∽(2)解：∵ADPABQ∽，ADABDPBQ即1020xBQ，∴2BQx∴210CQx过点M作MNBQ于N∵M为PQ的中点，∴MN为PCQ的中位线∴11(20)10222xMNPCx[来源:学§科§网]152CNCQx∴5BNCNBCx在RtBMN中，222222 5510)(2012524xBMBNMNxxx即2201255(02)04xyxx＜＜∵22520125(8)44545yxxx∴当8x时，y有最小值45∴线段BM长的最小值为35(3)设PQ与AB交于点E，过点M作MNCQ于N∵点M落在矩形ABCD内部，∴MNBE＞由(2)知，MN为PCQ的中位线∴12MNPC∴11(8)22MNPCa∵ADPABQ∽，∴ADABDPBQ即108aBQ，∴45BQa∵ABCD∥，∴QBEQCP∽BEBQPCCQ，即4548105aBEaa∴2(8)225aaBEa∴12(8)(8)2225aaaa∵80a，∴8212252aaa解得2582a3.已知RtABC中，90ACB，点P是边AB上的一个动点，连接CP，过点B作BDCP，垂足为点D.(1)如图1，当CP经过ABC的重心时，求证：BCDABC∽；(2)如图2，若2BC厘米，1tan2A，点P从点A向点B运动(不与点A、B重合)，点P的速度是5厘米/秒，设点P运动的时间为t秒，BCD的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，若PBC是以CP为腰的等腰三角形，求BCD的面积．解析：(1)证明：∵CP经过ABC的重心，∴CP为ABC的中线∴12CPABAP，∴AACP又∵90ACPDCB，90CBDDCB∴CBDA，又90BDCACB∴BCDABC∽(2)解：∵2BC，1tan2A，∴4AC过点P作PEAC于E，则5APt，PEt，2AEt42ECt，22(42)PCtt由PCECBD，得RtCPERtBCD∽∴2()BCDCPESBCSPC，即2241(42)(42)2Stttt∴2284()5161602ttSttt＜＜(3)①当PCPB时，有22(42)255ttt解得1t当1t时，228141451161165S(平方厘米)②当PCBC时，有22(42)2tt解得165t，22t(不合题意，舍去)当65t时，226684()245566255()161655S(平方厘米)综上所述，当PCPB时，BCD的面积为45平方厘米；当PCBC时，BCD的面积为2425平方厘米4.如图，已知线段AB长为12，点C、D在线段AB上，且2ACDB．动点P从点C出发沿线段CD向点D移动(移动到点D停止)，分别以AP、BP为斜边在线段AB同侧作等腰RtAEP和等腰RtBFP，连接EF，设APx．(1)求线段EF长的最小值；(2)当x为何值时，EPF的外接圆与AB相切；[来源:Z.xx.k.Com](3)求四边形AEFB的面积y与x的函数关系式；(4)设EF的中点为G，直接写出整个运动过程中点G移动的路径的长．解析：(1)作EHAB于H，FKAB于K，ELFK于L∵APx，∴(12210)PBxx1122EHAPx，1112126)22(FKPBxx11622ELHKHPPKAPPB∴116622FLFKLKFKEHxxx∴2222266()EFELFLx当6x时，2EF有最小值36∴线段EF长的最小值是6(2)作GMAB于M，1()32GMEHFK可见在点P由点C向点D移动过程中，点G到AB的距离始终为3，而由(1)知线段EF的长随x的变化而变化，当6x，即点P运动到AB中点时，62EFGM，而由题意可得90EPF，EPF是直角三角形，所以点G是EPF外接圆的圆心，只有此时EPF的外接圆才与AB相切∴当6x时，EPF的外接圆与AB相切(3)延长AE、BF交于点H易知ANB是等腰直角三角形，四边形PENF是矩形ANBENFANBEPFAEFBSSSSS四边形1122126(12)2222xx213364xx即213364yxx(4)由(2)知点G到AB的距离始终为3，所以随着点P的移动，点G的移动路径是一条平行于AB的线段∵12AB，2ACDB，∴10AD∵点P在CD线段上，∴210x∵1113222AMAHHMAPHKx∴当2x时，4AM；当10x时，8AM∴点G移动的路径长为8445.在ABC中，90C,4ACcm,5BCcm,点D在BC上，并且3CDcm,现有两个动点P、Q分别从PA和点B同时出发，其中点P以1/cms的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25/cms的速度沿BC向终点C移动.过点P作PEBC∥交AD于点E，连结EQ.设动点运动时间为x秒.(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度；(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时，设EDQ的面积为2()ycm，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，EDQ为直角三角形.解析：(1)在RtADC中，∵4AC，3CD，∴5AD，∵EPDC∥，∴AEPADC∽∴EAAPADAC，即54EAx，∴54EAx，554DEx(2)∵5BC，3CD,∴2BD当点Q在BD上运动x秒后，21.25DQx,则21157(4)(21.25)42282yDQCPxxxx即y与x的函数解析式为：257482yxx，其中自变量的取值范围是：01.6x＜(3)分两种情况讨论：①当90EQD时，∴4EQPCx，∵EQAC∥∴EDQADC∽∴EQDQACDC,即41.25243xx，解得2.5x解得2.5x②当90QED时，∵CDAEDQ，90QEDC∴EDQCDA∽∴EDDQCDAD即551.252435xx解得：3.1x综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，EDQ为直角三角形.6.如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，6cmAD，4cmCD，10cmBCBD，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1/cms；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1/cms，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为()ts(05)t．解答下列问题：(1)过P作PMAD∥，交AB于M．当t为何值时，四边形AMPE是平行四边形？(2)设2()yEQPQcm，求y与t之间的函数关系式，并求t为何值时，y有最大值，最大值是多少；(3)连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．解析：(1)∵四边形AMPE是平行四边形．∴PEAB∥∴DEDPDADB．而10DEtDPt，，∴10610tt，∴154t．∴当15(s)4t，四边形AMPE是平行四边形(2)∵EF平行且等于CD，∴DQEBDC．∵ADBC∥，∴EDQCBD．∴DEQBCD△∽△．∴DEEQBCCD即104tEQ．∴25EQt∵DQBPt，∴102PQt．∴yEQPQ25t(102)t245()552t∴当52t时，y有最大值5．(3)在PDE△和FBP△中，10PDEFBPPDEFBPDEBPtPDBFt△≌△，，，∴PDEPFCDEPFCDSSS△五边形四边形FBPPFCDSS△四边形86BCDS△．∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．7.如图，ABC中，15ABAC，18BC，点D、E分别在边AB、AC上，且5ADAE．直线l过点A且lBC∥，点F是射线BC上一动点，FD的延长线与直线l相交于点G，GE的延长线与射线BC相交于点H，AB与GH相A交于点O，设BFx．(1)求OGA的面积S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，GHAB？(3)当BDF为等腰三角形时，直接写出OB的长．解析：(1)过A作AMBC于M∵15ABAC，18BC，∴192BMCMCB∴222215912AMABBM∵GABC∥，∴12PQAM∵15ABAC，5ADAE，∴10BDCE∵GABC∥，∴12GAADBFBD，12GAAECHCE∴CHBFx，18BHx，12GAx过O作PQAM∥，分别交GA、BC于点P、Q则OPGAOQBH，∴121218xOPOPx∴412xOPx∴211142221212xxSGAOPxxx(2)过E作EKl于K∵GKBH∥，∴EAKACM∴RtEAKRtACM∽，∴EKAKEAAMCMAC∴512915EKAK，∴4EK，3AK∵GKBH∥，∴KGEOHB∵GHAB，∴90BOHB∵90KEGKGE，∴KEGB∴RtGEKRtABM∽，∴GKEK