隐函数的偏导数

第16讲隐函数的偏导数一.隐函数定义1.若存在集函数,则对方程使得对都有唯一的与一起满足方程(1),则称方程(1)确定了定义在X上,值域含于Y的隐若记并非任一方程都能确定隐函数。定理1.二.隐函数存在定理若在含点的某区域D内具有连续的偏导数,且则方程内唯一确定在某一个具有连续偏导数的n元函数使得注意是指而非证明略，公式推导见黑板。例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一连续可导的隐函数令,1sin),(yxeyyxFx,yeFxx连续,由定理1,导的隐函数,0)0,0(F则xyFycos在原点的某邻域内方程可确定连续可并求解：偏导数1)0,0(yF且,0且例2.设函数具有连续偏导数，令,),,(),,(zyxyxxfzyxF均连续,,'''321fffFx则求由方程解：,0),,(zyxFz若所确定的隐函数的偏导数任一点(x,y,z)处,,''32ffFy在满足已知方程的'3fFz则有法一.例2.设函数具有连续偏导数，将z视为x,y的函数,方程两边对x求偏导得求由方程解：所确定的隐函数的偏导数法二.,0'3f若则可解得注：定理1中若函数存在k阶连续偏导数,数的隐函数。则方程F=0可确定具有k阶连续偏导以二元函数为例,存在二阶连续偏导数，若则隐函数有二阶连续导数,由得yxFFxyx.2322yxyyyxyxyxxFFFFFFFF练1.验证方程邻域内可确定具有二阶连续导数的隐函数答：令在点(0,0,0)的某并求,,,,,,yyyxxyxxzyxFFFFFFF在原点的某邻域内连续;04222zzyx;0)0,0,0(F验证.0)0,0,0(zF求得,2zxzx练2.设续偏导数,且f,g在区域D内有连求,0),(),,(yxgyxfz答：.'''''dd21221ggfgfxz定理2.三.隐函数组存在定理设在含点的某区域D内具有连续的偏导数,且雅可比行列式处不为0，在点具有连续偏导数的二元函数则方程组在某内唯一确定一组使得且,),(),(),(),(vuGFxuGFxv.),(),(),(),(vuGFyuGFyv例3.验证方程组在点(1,0,1,1)某邻域可确定隐函数组令,),,,(,),,,(2222vuxyvuyxGuvyxvuyxF连续,则,2yFy并求解：且,0)1,1,0,1()1,1,0,1(GF,uFv,vFu,2xFx而,yGx,xGy,2uGuvGv2由定理2,在点(1,0,1,1)的某邻域可确定隐函数组偏导数计算见黑板。注意对称性。例4.设续偏导数,且解：f,g在区域D内有连求,0),(),,(yxgyxfz令,),(),,(zyxfzyxF则,'1fFx,'2fFy1zF及yxgg,均连续,且.'''''21221ggfgf因此方程组在其解的邻域内能确定一元隐函数组),(),(xyyxzz且例7.设函数在点域内具有连续偏导数,且并求证明由此可确定具有连续偏导数的反函数组的某邻解：则令,),(),,,(,),(),,,(vugyvuyxGvufxvuyxF的各偏导连续,GF,且由定理2,可确定反函数组偏导计算作为练习。练3.计算极坐标变换sin,cosryrx换的导数.xrx,22yxyyr22yxxy由于sin1rrcos,22yxx,22yxy的反变解：所以当0r时，可确定反变换。并可得作业：P37.2.(2);3.(6)F偏导连续12.(1)(3).14.注：2、3、14题中只求.xz