隐函数的求导方法总结

..河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日..摘要...............................................................................................3一．隐函数的概念..........................................................................3二．隐函数求偏导..........................................................................31.隐函数存在定理1................................................................32.隐函数存在定理2.............................................................43.隐函数存在定理3..................................................................4三.隐函数求偏导的方法................................................................61.公式法...................................................................................62.直接法...................................................................................63.全微分法...............................................................................7参考文献........................................................................................9..摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数偏导数方法一．隐函数的概念一般地，如果变量yx和满足方程0,yxF，在一定条件下，当x取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程0,yxF在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013yx表示一个函数，因为当变量x在，内取值时，变量y有确定的值与其对应。如等时时321,10yxyx。二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1设函数0),(yxF在P（x。，y。）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(yxF，0),(yxFy，则方程0),(yxF在点（x。，y。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(xfy，并有yxyFFddx。例1:验证方程2x-2y=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(xf，并求该函数的导数dxdy在x=1处的值。解令),(yxF=2x-2y,则xF=2x，yF=-2y，)1,1(F=0，)1,1(yF=-2≠0由定理1可知，方程2x-2y=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，..当x=1时，y=1的隐函数为y=x，且有dxdy=yxFF=yx22=yx故1=xdxdy=)1,(!yx=12.隐函数存在定理2设函数zyxF,,在点）（zyxP,,的某一邻域内具有连续偏导数，且）（zyxF,,=0，0,,）（zyxFz，则方程0,,zyxF在点zyx,,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数yxfz,,它满足条件yxfz,并有zyzxFFyzFFxz,。例2：设函数yxzz,由方程zyxzxy2所确定，求yz解：设zyxzxyzyxF2,,则012xyFz（将x，y当常数，对z求偏导）12xyzFz（将x，y当做常数，对y求偏导）根据定理2：22112112xyxyzxyxyzFFyzzy3.隐函数存在定理3设vuyxF,,,、vuyxG,,,在点0000,,,vuyxP的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0,,,,0,,,00000000vuyxGvuyxF，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比(Jacobi)）vFvGuFuGvuGFJ,,..在点0000,,,vuyxP不等于零，则方程组0,,,,0,,,00000000vuyxGvuyxF在点0000,,,vuyx的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数),(),,(yxvvyxuu,它们满足条件),(000yxuu，),(000yxvv，并有GvGuFvFuGvGxFvFxvxGFJu),(),(1xGvGuFvFuGxGuFxFuxuGFJv),(),(1xGvGuFvFuGvGyFvFyvyGFJu),(),(1yGvGuFvFuGyGuFyFuyuGFJv),(),(1y例3：设1,0xvyuyvxu，求.,,,yvxvyuxu解：uxvyxuxvxvxxuyyxvxuxuxvxvxuyxyvxuxvyu0001求导方程两边对由定理3可求022JyxJyxxyvFvGuFuG且则22yxyvxuxuyxxyyxuv22yxxvyuxvyxxyuvxyvyvyyuxuyvxyuyyvyvyuxyvxyuyuyvxuxvyu00y01求导方程两边对..同上可求得22yxyuxvyu22yxyuxvyv三.隐函数求偏导的方法1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z看作独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式=xz-ZXFF,=yz-zyFF。类型条件公式0,yxF00xyFF或xyyxFFdxdyFFdxdy或类型条件公式0,,zyxF0xFxzxyFFzxFFyx,0yFyzyxFFzyFFxy,0zFzyzxFFyzFFxz,0,,,0,,,vuyxFvuyxG0,vFvGuFuGvuGFJ，vxGFJxu,,1，xuGFJxv,,1vyGFJyu,,1，yuGFJyv,,12.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y看作独立变量，z是x,y的函数，得到含yzxz,..的两个方程，解方程可求出yzxz,.3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成,),,(),,(dyzyxvdxzyxudz+=则dydx,的系数便是yzxz,，在求全微分时，z应看做自变量.例1.已知xyyxarctanln22=+，求22dxyd.解.方法一：令22ln),(yxyxF+=-)ln(21arctan22yxxy+=xyarctan则2222),(,),(yxxyyxFyxyxyxFyx所以=dxdyyxFFxyyx上式再对x求导得3222'22)()(2)(22yxyxyxyxydxyd方法二：方程,0arctanln22xyyx两端分别对x求导得22'yxyyx022'yxyxyyxyxdxdy3222'22)()(2)(22yxyxyxyxydxyd方法三：方程xyyxarctanln22，两端分别求微分得)(arctan)(ln22xydyxd利用全微分不定性，上式化为..xydxyyxdydx2222221121由全微分运算法则计算并化简得3222'22)()(2)(22)()(yxyxyxyxydxydxyyxdxdydxyxdyyx..参考文献【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】北京：高等教育出版社，2014.7【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】成都：电子科技大学出版社，2014.8【3】邵燕南.高等数学【M】北京：高等教育出版社，2014.7【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【M】南京：东南大学出版社，2014.5【5】陈纪修，於崇华，金路.数学分析【M】北京：高等教育出版社，2004.4