数学分析18.2隐函数定理及其应用之隐函数组

第十八章隐函数定理及其定理1隐函数组一、隐函数组的概念设方程组0v)u,y,G(x,0v)u,y,F(x,,其中F,G为定义在V⊂R4上的四元函数.若存在平面区域D,E⊂R2,对于D中每一点(x,y),有唯一的(u,v)∈E,使得(x,y,u,v)∈V,且满足该方程组，则称由该方程组确定了隐函数组：y)g(x,vy)f(x,u,(x,y)∈D,(u,v)∈E,并有0y))g(x,y),f(x,y,G(x,0y))g(x,y),f(x,y,F(x,,(x,y)∈D.二、隐函数组定理分析：设概念中的F,G,u,v都可微，分别对x,y求偏导数可得：0vGuGG0vFuFFxvxuxxvxux和0vGuGG0vFuFFyvyuyyvyuy,解出ux,vx,uy,vy的充分条件是vuvuGGFF≠0，也可记作：)v(u,)G(F,≠0,即函数F,G关于变量u,v的函数行列式(或称雅可比行列式)不为0.定理18.4：(隐函数组定理)若(1)F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以P0(x0,y0,u0,v0)为内点区域V⊂R4上连续；(2)F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0(初始条件)；(3)在V上F,G具有一阶连续偏导数；(4)J=)v(u,)G(F,在点P0不等于0，则1、存在点P0的某一(四维空间)邻域U(P0)⊂V，在U(P0)上方程组0v)u,y,G(x,0v)u,y,F(x,惟一地确定了一个定义在点Q0(x0,y0)的某一(二维空间)邻域U(Q0)的两个二元隐函数u=f(x,y),v=g(x,y)使得当(x,y)∈U(Q0)时，u0=f(x0,y0),v0=g(x0,y0)；(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P0),且F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0,G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0；2、f(x,y),g(x,y)在U(Q0)上连续；3、f(x,y),g(x,y)在U(Q0)上有一阶连续偏导数，且xu=-)v(x,)G(F,J1,xv=-)x(u,)G(F,J1;yu=-)v(y,)G(F,J1,yv=-)y(u,)G(F,J1.例1：讨论方程组01xy-v-uv)u,y,G(x,0y-x-vuv)u,y,F(x,222在点P0(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数组，并任求一组隐函数组的偏导数.解：F,G在R4上连续，F(2,1,1,2)=0,G(2,1,1,2)=0.求F,G的所有偏导数得：Fu=2u,Fv=2v,Fx=-2x,Fy=2v,Gu=-1,Gv=1,Gx=-y,Gy=-x.∵在P0处的所有六个雅可比行列式中，仅)v(x,)G(F,=0.∴只有x,v难以肯定能否作为以y,u为自变量的隐函数，其余任两个变量都可在P0近旁作为以另两个变量为自变量的隐函数.对原方程组分别求关于u,v的偏导数，得0xy-yx-1-0y-2xx-2uuuuu;0yx-xy-10y-2xx-2vvvvv，解得xu=y-x21xu22,yu=-y-x2yu2x22;xv=y-x21xv22,yv=-y-x2yv2x22.例2：设函数f(x,y),g(x,y)具有连续偏导数，而u=u(x,y),v=v(x,y)是由方程组u=f(ux,v+y),g(u-x,v2y)=0确定的隐函数，试求xu,yv.解：记F=f(ux,v+y)-u,G=g(u-x,v2y),则有vuyxvuyxGGGGFFFF=2122121212vygggvg-f1xffuf;从而有Juv=21212vyggf1xf=2xyvf1g2-2yvg2+f2g1;Jxv=21212vygg-fuf=2yuvf1g2-f2g1;Juy=22121gvgf1xf=xv2f1g2-v2g2+f2g1.∴xu=-uvxvJJ=122212112gf+2yvg-g2xyvfgyuvf2gf;yv=-uvuyJJ=122211221222gf+2yvg-g2xyvfg-fgfxv-gv.三、反函数组与坐标变换设函数组u=u(x,y),v=v(x,y)是定义在xy平面点集B⊂R2上的两个函数,对每一点P(x,y)∈B,由方程组u=u(x,y),v=v(x,y)有uv平面上惟一的一点Q(u,v)∈R2与之对应，我们称方程组u=u(x,y),v=v(x,y)确定了B到R2的一个映射(变换)，记作T.这时映射T可写成如下函数形式：T：B→R2,P(x,y)↦Q(u,v)，或写成点函数形式Q=T(P),P∈B,并称Q(u,v)为映射T下P(x,y)的象，而P则是Q的原象.记B在映射T下的象集为B’=T(B).若T为一一映射(每一原象只对应一个象，且不同的原象对应不同的象),则每一点Q∈B’,由方程组u=u(x,y),v=v(x,y)都有惟一一点P∈B与之相对应，由此产生新的映射称为T的逆映射(逆变换),记作T-1,有T-1：B’→B,Q↦P,或P=T-1(Q),Q∈B’,即存在定义在B’上的函数组：x=x(u,v),y=y(u,v)，把它代入原函数组，恒有u≡u(x(u,v),y(u,v)),v≡v(x(u,v),y(u,v)),这时称函数组x=x(u,v),y=y(u,v)为原函数组的反函数组.定理18.5：(反函数组定理)设函数组u=u(x,y),v=v(x,y)及其一阶偏导数在某区域D⊂R2上连续，点P0(x0,y0)是D的内点，且u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),0P)y(x,)v(u,≠0,则在点P0’(u0,v0)的某一邻域U(P0’)上存在惟一的一组反函数x=x(u,v),y=y(u,v)，使得x0=x(u0,v0),y0=y(u0,v0),且当(u,v)∈U(P0’)时，有(x(u,v),y(u,v))∈U(P0),及u≡u(x(u,v),y(u,v)),v≡v(x(u,v),y(u,v)).该反函数组在U(P0’)上存在连续的一阶偏导数，且ux=yv/)y(x,)v(u,,vx=-yu/)y(x,)v(u,;uy=xv/)y(x,)v(u,,vy=-xu/)y(x,)v(u,.即互为反函数组的雅可比行列式互为倒数.例3：平面上的点P的直角坐标(x,y)与极坐标(r,θ)之间的坐标变换公式为：x=rcosθ,y=rsinθ,讨论该函数组所确定的反函数组.解：由于)θ(r,)y(x,=rcosθsinθrsinθ-θcos=r,∴除原点外，原函数组所确定的反函数组为：r=22yx,θ=0xxyarctanπ0xxyarctan，.例4：直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换公式为：x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ.讨论该函数组所确定的反函数组.解：∵)θφ,(r,)zy,(x,=0rsinφ-cosφcosθrsinφsinθrcosφsinθsinφsinθrsinφcosθrcosφcosθsinφ=r2sinφ,∴在r2sinφ≠0,即除去z轴上的一切点，原方程组确定的反函数组为：r=222zyx,θ=arctanxy,φ=arccosrz.例5：设φ为二元连续可微函数,对于函数组u=x+at,v=x-at,试把弦振动方程a222xφ=22tφ(a0)变换成以u,v为自变量的形式.解：∵ux=vx=1,ut=vt=a,∴)t(x,)v(u,=-2a≠0,∴所设变换存在逆变换.又du=uxdx+utdt=dx+adt,dv=dx-adt,由微分形式不变性得dφ=φudu+φvdv=(φu+φv)dx+a(φu-φv)dt,即φx=φu+φv,φt=a(φu-φv).∴以u,v为自变量,有φxx=u(φu+φv)ux+v(φu+φv)vx=φuu+φvu+φuv+φvv=φuu+2φuv+φvv;φtt=au(φu-φv)ut+av(φu-φv)vt=a2(φuu-2φuv+φvv).∴a2φxx-φtt=4a2φuv=0.∴将弦振动方程变换为以u,v作新自变量的方程为：vuφ2=0.注：此方程的解的形式为φ=f(u)+g(v)=f(x+at)+g(x-at).习题1、试讨论方程组2zyx2zyx222在点(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组.解：令F(x,y,z)=x2+y2-2z2,G(x,y,z)=x+y+z-2,则(1)F,G在点(1,-1,2)的某邻域内连续；(2)F(1,-1,2)=0,G(1,-1,2)=0满足初始条件；(3)Fx=2x,Fy=2y,Fx=-z,Gx=Gy=Gz=1均在点(1,-1,2)的邻域内连续；(4)(1,-1,2))y(x,)G(F,=)2,1,1(G)2,1,1(G)2,1,1(F)2,1,1(Fyxyx=1122=4≠0,∴原方程组在点(1,-1,2)的附近能确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组.2、求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)azyxazyx222222,求dxdy,dxdz；(2)0xu-v-y0yv-u-x22,求xu,xv,yu,dydv；(3))yv,xu(gvy)vf(ux,u2,求xu,xv.解：(1)设方程组确定的隐函数组为y=y(x),z=z(x).对方程组两边关于x求导得：dxdzadxdyy22x0dxdzz2dxdyy22x,解得：dxdy=2y2x-a,dxdz=-2za.(2)设方程组确定的隐函数组为u=u(x,y),v=v(x,y).方程组关于x求偏导得：0xux-u-xv2v-0xvy-xu2u-1,解得：4uv-xyx2uxvxy-4uvyu2vxu2；方程组关于y求偏导得：0yux-yv2v-10yvy-v-yu2u-,解得：xy-4uvxv2uyv4uv-xyy2vyu2.(3)方程组关于x求偏导得：xv2yvggxugxvxvfxuxfufxu211211,解得：1221111112211221gf-)2yvg-)(1xf(1)gxf(1gufxvgf-)2yvg-)(1xf(1gf-)2yvg-(1ufxu.3、求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：(1)ucosveyusinvexuu,求ux,vx,uy,vy；(2)3322vuzvuyvux,求zx.解：(1)方程组关于u求偏导得cosveysinvexuuuu,方程组关于v求的偏导得usinvyucosvxvv,∴)v(u,)y(x,=xuyv-xvyu=usinv(eu+sinv)-ucosv(eu-cosv)(1+eusinv-eucosv)u.由反函数组定理得：ux=vy/)v(u,)y(x,=cosv)uesinve1(usinvuu=cosvesinve1sinvuu;vx=-uy/)v(u,)y(x,=cosv)uesinve1(e-cosvuuu;uy=-vx/)v(u,)y(x,=cosv)uesinve1(ucosv-uu=cosvesinve1cosv-uu;vy=ux/)v(u,)y(x,=cosv)uesinve1(sinveuuu.(2)方程组关于x求