第-八-章玻色统计和费米统计

第八章玻色统计和费米统计一个例子光子气体考虑一个谐振子，其能级结构为根据Boltzmann统计，处于温度T的平衡态的该谐振子，处于能级的概率为其中单粒子配分函数为1()2nwnn111()nnpeZkT1Z10nnZe如果用产生—湮灭算符(creator-annihilator)来描述该谐振子，则处于能级的谐振子的可以理解为有n个由产生算符从“真空”中产生的粒子（如光子），则我们可以计算该谐振子在温度T下的平均生成的粒子数：n1()200100'1'001'1'01'111(Z,)1lnwnnnnwnwnnnxnxnnnxnnNnpneZneeneexwZeZZxxfx'1011xnxnZee'1ln(1)xfe'111111xxxwfeNxeeew：光子的能量1lllae对比玻色分布：1热力学量的统计表达式kT配分函数取为2弱简并理想玻色气体和费米气体本节以分子的平动自由度为例，讨论弱简并条件（或虽小但不可忽略）下的玻色气体和费米气体的性质，为方便起见，我们将两种气体的性质同时讨论.其中g是由于粒子可能具有的自旋而引进的简并度。考虑到平动自由度的能级是准连续的，求和可以用积分来近似，于是系统的总分子数为3玻色－爱因斯坦凝聚（已做习题，汪书6.1）4平衡辐射（光子气体）4.1平衡辐射的热力学理论（宏观处理）4.1.1定义只要有温度的物体,都存在热辐射.一般而言,热辐射的强度按频率的分布与辐射体的温度和性质有关.热辐射：电磁波描述电磁波的参数：波矢+极化方向主要观测物理量：热力学量：(,),(),(,),()uTuTJTJT,,,,USGpV12(,)(,)uTuT12()()uTuT•平衡热辐射的特性将只取决于温度,与辐射体的其他特性无关4.1.2主要结论热力学理论只关注()uT•压强与能量密度的关系(实验或统计物理得到)/3pu•内能(,)()UTVuTV4uaT•熵3(4/3)SaVT•吉布斯函数光子的化学势为0！•通量密度(1/4)Jcu4.2平衡辐射的统计物理理论目的：求能量密度及其它热力学函数.4.2.1微观粒子的定义具有一定的动量及极化方向的光子.平面波与光子之间遵从德布罗意关系：由波动方程可以推得，于是有.ppkckcp(,)uT4.2.2光子的统计分布•光子是玻色子，遵从玻色—爱因斯坦统计，处于能量的一个相格的平均粒子数为由于粒子数不守恒化学势•有两个极化方向，极化简并度g=211ae0011ae4.2.3态密度或①等能面：②等能面包含的微观状态数()Dd()Dd.const.pconst222.xyzpppconst222222222223333323()(2)284433xyzxyzxyzEpppcxyzEkkkcEkcgdxdydzdpdpdpEghdkdkdkVVVEkc以为自变量于是在处的态密度为323()3Vc223()()dDdddVdc4.2.4能量密度①在处的光子数密度②能量密度(,)uT(,)nT2/23(,)()11kTnTdaDdVdec(,)uT323/(,)(,)1kTuTnTVce323/(,)1kTVuTce4.3有关平衡辐射的经典公式——从普朗克公式出发4.4光子气体的热力学函数5自由电子气体①微观粒子晶格中的各个原子②能级及自由度每个原子有三个自由度，可看作三个振子的振动.振子的能级为1()0,1,2,2nnn③能量均分定理的简单应用原子之间相互独立，是定域系统，用Boltzmann统计.由能量均分定理，每个原子的平均简谐振动的能量为3kT3UNkT33VCNknR在室温和高温范围与实验结果符合地很好，在低温范围与实验结果存在较大偏差.④爱因斯坦理论原子之间相互独立，每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，因此振子是可以分辨的，都遵从玻尔兹曼分布.由于每一个原子受力情况都一样，得3N个谐振子的频率都相同.12()2101nneZee133ln321NUNZNe223(1)kTVVkTUeCNkTkTe高温下与利用能量均分定理得到结果一致；低温下当T0时，Cv0，与实验结果能定性符合.⑤德拜理论固体中相邻原子间的距离很小（10^-10量级），原子的存在很强的相互作用.通过线性变换可以将能量写成简正坐标和动量的平方和的形式，共有3N-6个简正振动，N很大时，可以近似认为有3N个简正振动.德拜将固体看作弹性媒介，3N个简正振动是弹性媒质的波动，固体上任意的弹性波都可以分解为3N个简正振动的叠加.弹性波有纵波和横波两种，用cl和ct分别表示纵波和横波的传播速度，按照推导平衡辐射频谱的方法可以得到在范围内简正振动数为2233223312()()212()2ltltVDddccVBdBcc由于固体只有3N个简正振动，必须假设存在一个最大的圆频率，令可得，称作德拜频率可推得，高温下热容量为3Nk；低温下，热容量，对于非金属固体与实验符合，对于金属固体还要考虑自由电子对热容的贡献.203DBdN39DNB30000()11DDkTkTUUDdUBdee3VCTD强简并条件：1e1kTe或31n•定性分析：时，函数按指数规律随变化，实际上只有在附近数量级为kT的范围内，电子的分布与T=0时的分布有差异.上面结论也可以从曲线的斜率来观察，可以算得0T114fkT•温度升高时，只在附近数量级为kT的能量范围内占据情况发生改变，只有在此范围内的电子对热容量有贡献。可以据此估算电子气体的热容量:利用能量均分定理，第一有效电子对热容的贡献为，则自由电子对热容量的贡献为对铜的估计，室温范围，所以在室温范围，金属中自由电子对热容的贡献远小于经典理论值，与离子振动的热容相比可以忽略不计..effkTNN32kT33()22VFkTTCNkNkT1270FTT•注：强简并条件11kTFTeT•定量计算：