层次分析法AHP

层次分析法一、层次分析法简介美国运筹学家Saaty于20世纪70年代初提出了著名的层次分析法(AnalyticHierarchyProcess简称AHP)。层次分析法是将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法具有系统、灵活、简洁的优点。运用层次分析法建模来解决实际问题，可按如下五个步骤：步骤l定义问题，确定目标步骤2从最高层(目标层)，通过中间层(准则层)到最低层(方案层)构成一个层次结构模型步骤3两两比较打分，确定下层对上层的分数准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。引用数字1-9及其倒数作为标度来定义判断矩阵(见表1)。表1判断矩阵标度定义标度含义含义l表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值倒数若因素i与因素j的重要性之比为，那么因素j与因素i重要性之比为步骤4层次合成计算步骤5一致性检验1)计算一致性指标CI(consmtencyindex)其中，为判断矩阵的最大特征值。2)查找一致性指标RI(见表2)表2平均随机一致性指标n1234567891011121314RI0OO.520．891．121.241.361.411．461．491．521．541．561．583)计算一致性比例CR(consistencyratio)当CR0.10时，认为通过了一次性检验，否则应作适当修正。二、层次分析法权重向量W计算方法层次分析法有四种计算方法求权重：算术平均法、几何平均法、特征向量法、最小二乘法。1、算术平均法(求和法)由于判断矩阵A中的每一列都近似地反映了权值的分配情形，故可采用全部列向量的算术平均值来估计权向量。即∑∑，，，，计算步骤：①A的元素按列归一化，即求∑；②将归一化后的各行相加；③将相加后的向量除以n即得权重向量。2、几何平均法(方根法)∏∑∏，，，，计算步骤：①A的元素按行相乘得一新向量；②将新向量的每个分量开n次方；③将所得向量归一化即为权重向量。3、特征向量法将权重向量W右乘权重比矩阵A，有同上，为判断矩阵的最大特征值，存在且唯一，W的分量均为正分量。最后，将求得的权重向量作归一化处理即为所求。4、最小二乘法用拟合方法确定权重向量，使残差平方和为最小．即求解如下模型：∑∑s.t.∑，，，，，三、层次分析法在选择旅游地分析中的应用1、国庆假期打算出去旅游，有3个旅游目的地：桂林、黄山、北戴河，按照景色、费用、居住、饮食、旅途等因素选择。2、3、景色费用居住饮食旅途景色11/2433费用21755居住1/41/711/21/3饮食1/31/5211旅途1/31/5311即：[⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄]，随机一致性指标（查表），通过一次性检验。第3层(方案)对第2层每一元素(准则)：景色P1P2P3P1125P21/212P31/51/21，，通过一次性检验。费用P1P2P3P111/31/8P2311/3P3831，，通过一次性检验。居住P1P2P3P1124P21/212P31/41/21，，通过一次性检验。饮食P1P2P3P1131/2P21/311/5P3251，，通过一次性检验。旅途P1P2P3P1125P21/212P31/51/21，，通过一次性检验。4、层次合成计算①算术平均法(求和法)景色费用居住饮食旅途权重景色0.2553230.244750.2352940.2857140.2903240.262费用0.5106470.48950.4117650.476190.4838730.474居住0.0638310.069950.0588240.0476190.0322550.054饮食0.0850990.09790.1176470.0952380.0967750.099旅途0.0850990.09790.1764710.0952380.0967750.110求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权重景色费用居住饮食旅途总分0.2620.4740.0540.0990.110P10.5950.0820.5710.3090.5950.322P20.2770.2360.2860.1100.2770.241P30.1290.6820.1430.5810.1290.436P3P1P2，最后的决策为去北戴河。②几何平均法(方根法)景色费用居住饮食旅途权重景色11/24330.264费用217550.477居住1/41/711/21/30.053饮食1/31/52110.099旅途1/31/53110.107同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量景色费用居住饮食旅途总分0.2640.4770.0530.0990.107P10.5950.0820.5710.3090.5950.321P20.2760.2360.2860.1090.2760.241P30.1280.6820.1430.5820.1280.438P3P1P2，最后的决策为去北戴河。③特征向量法[⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄]A的最大特征值相应的特征向量为W2=(0.4658，0.8409，0.0951，0.1733，0.1920)T特征值景色费用居住饮食旅途3.00553.001533.00373.0055相应的特征向量为[][][][]P3P1P2，最后的决策为去北戴河。5、一致性检验CR0.10，均通过了一次性检验。四、结论方法算术平均法几何平均法特征向量法P10.3220.3210.331P20.2410.2410.242P30.4360.4380.427各种方法的权重排序均为：P3P1P2.P1,P2,P3分别表示桂林、黄山、北戴河，故最后的决策应为去北戴河。通过比较可以发现，运用不同的确定权重的方法，并不影响决策结果。不同的计算方法得出的结果差异很小。综合运用各种方法可以避免产生偏差，使得出的结果更有效，更全面。