高数-矩阵的概念及运算

温州大学教育学院王靖庶2.2矩阵及其运算矩阵也是是线性代数的重要工具，矩阵理论的应用，最常见也最重要的就是解线性方程组。本节知识点和教学要求知识点–矩阵的概念-矩阵的加减和倍数–矩阵的乘法-初等变换和矩阵的秩–逆矩阵-求解可逆矩阵方程教学要求–熟练掌握矩阵运算的基本法则–熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩–熟练运用初等变换求矩阵的逆–熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程2.2.1矩阵的概念•引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)51吋47吋42吋一分店735二分店120求全年电视销售情况？51吋47吋42吋一分店1065二分店231某商店下半年电视销售情况(单位:百台)简记为10652317351207103655122301定义矩阵——矩形数表用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示元素aij数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象;方阵：m=n时,称n阶方阵或n阶矩阵;1阶矩阵就是一个数.向量:1×n阶矩阵——行向量,n×1阶矩阵——列向量.•矩阵的简记法:–(aij)mn–用行向量表示–用列向量表示这里，Aj为列向量，Bi为行向量。12,,nAAA12mBBB111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa矩阵的相等矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才相等.行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。210020051kOk零矩阵矩阵O=(aij)mn的mn个元素均为零。即0521k转置矩阵AT显然,n阶方阵的转置仍然是n阶方阵.(AT)T=A.nnaaa2211nnaaa21122121nnaaaA2121nnaaannaaa2112TAnnaaa2211系数矩阵和增广矩阵例2.2.1三元线性方程组1232313238,524,232xxxxxxx的和分别是123052203123805242032系数矩阵增广矩阵n元线性方程组的情况见教材127页。中国古代算书《九章算术》中的“方程”刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。“程，课程也。群物总杂,各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这段话的意思可以从《方程》章的第一道题看出,题目是“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉,下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”(秉——捆)“置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗于右方;中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除……”(直除——减去对应的各数，到不能再减为止).按照这种解法，列出下列算式：《方程》章的解法为用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6,9,3,102减去右行对应各数，得3,7,2,63，再减一次，得0,5,1,24，不能再减了(消去一个未知数——上禾每秉的实);又用3遍乘左行各数,得3,6,9,78减去右行对应各数，得0,4,8,39.如下:接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”，即接着消去左右两行中的中禾每秉的实,同现代的解一次方程组的加减消元法十分一致.最后:左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一书中开始用不甚完整(没有认识负数)的加减消元法解联立一次方程组。前面解题过程中的方框即可视为矩阵,可见矩阵并以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.１)定义mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA2211222222212111121211112.2.2矩阵的加减和倍数1、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为nm,bB,aAijijABBA只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如(即引例)12345698186309153121826334059619583112.98644741113说明1A+B=B+A;2A+B+C=A+B+C.3Α+Ο=Ο+Α=Α.(交换性)(结合性)(零矩阵的单位性)2)矩阵加法的运算规律(4)TTTA+B=A+B.(保持转置性)111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa=,AAOABAB.有,ija(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法称为矩阵A的负矩阵。这就是矩阵的减法例2.2.1设某公司的职工按男女区分统计如下从矩阵A＋B中可了解该机械公司的职工总数情况：男性技术人员、生产工人、其他职工分别为150、400、15人，而女性职工分别为35、300、35人．我们分别用矩阵A和B来列出总公司和分公司的职工人数情况，然后汇总统计用矩阵A＋B表示，即5010051003001015040015'102001525100203530035AB总公司分公司技术人员生产工人其他技术人员生产工人其他男50100510030010女10200152510020例2.2.4设容易看出,有TTTAB=AB.424252020151T212342301020421351TTAB1)定义.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA2、矩阵的倍数(即数与矩阵相乘)规定为或的乘积记作与矩阵数,AAA2;λμA=λμA1λ+μA=λA+μA,λA+B=λA+λB;3.TT(λA)=λA矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）,nmBA、2)数乘矩阵的运算规律(对加法的分配性)(保持转置性)(结合性)引例1计算过程可表示如下:2.2.3矩阵的乘法一个小学生买了12支铅笔,每支0.3元;练习本15本,每本0.2元;蓝墨水一瓶,价0.8元.共花去多少钱?120.30.20.8150.3120.2150.817.4(1元)这是一行矩阵与一列矩阵的乘法.能用矩阵表示计算过程吗?是否更简约?引例2上例,若还有一个小学生买了8支铅笔;练习本10本;蓝墨水2瓶,各样物品价格相同.两人各自共花去多少钱?1280.30.20.81510120.3120.2150.810.380.2100.827.46(元)若另一商店的价格是0.40.30.6用矩阵如何表示?有何优点?当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了引例3某商店上半年电视经营情况51吋47吋42吋一分店735二分店120某商店上半年电视销售情况(单位:百台)简记为73512051吋47吋42吋进货价321.5销售价3.32.21.6(单位:千元/台)33.322.21.51.6这个结果的意义是什么?73512033.3.22.21.51.6733251.573.332.251.6132201.513.322.201.6进货金额销售金额利润一分店34.537.73.2二分店77.70.7(数量矩阵×价格矩阵)(单位：十万元)....345377777skkjiksjisjijiijbabababac12211,,,2,1;,2,1njmi并把此乘积记作.ABC设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中ijaAsmijbBnsnmijcCAB1.矩阵的乘法定义222263422142C221632816设415003112101A121113121430B例2.2.6?例2.2.5故121113121430415003112101ABC.解,43ijaA,34ijbB.33ijcC567102621710例2.2.7设A,B分别是n1和1n矩阵,且1212,[,,,],nnaaABbbba计算AB和BA.解1111212212221212[,,,]nnnnnnnnaabababaabababABbbbaababab12121122[,,,]nnnnaaBAbbbbababaa106861985123321例如不存在.注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.矩阵乘积的认识定义4设A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵111211112121222212221212,nnnnmmmnmmmnaaabbbaaabbbABaaabbb12121122jjijiiinijijinnjnjbbcaaaabababb则A的第i个行向量与B的第j个列向量之乘积为一个数，这个数就是AB的第i行第j列的元素,且定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或nAAA.detA8632A例8632A则.2运算性质;1AAT;2AAn,ABAB.BAAB定理2.2.1方阵的行列式即同阶方阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积。因为111213112122232231323333aaaxbaaaxbaaaxb所以如果有2.矩阵的乘法和线性方程组的关系123bbb就有111122133211222233311322333axaxaxaxaxaxaxaxax111213121222323132333aaaxaaaxaaax111122133211222233311322333axaxaxaxaxaxaxaxax111122133121122223323113223333,,.axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb即一般的线性方程组可以非常简单地表示为矩阵方程11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbAXB111212122212nnmmm