有理数的除法基本知识及易错题例析

有理数除法基本知识及易错例析松江区立达中学庄士忠卢栋才201600有理数除法的意义与小学学过的正数的除法的意义是相同的，即：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫除法，所不同的是，负有理数可以参加除法运算.1．关于倒数乘积为1的两个数互为倒数，即：如果a·b=1，则a,b互为倒数.反过来，如果a,b互为倒数，则ab=1.因为任何与0相乘的积都是零，而不能是1，所以0没有倒数.一般地，求一个整数的倒数，直接写成这个数的分之一即可.求一个分数的倒数，只要把分子、分母颠倒一下即可.即a(a≠0)的倒数是a1；ab（a≠0,b≠0）的倒数是ba.例如21的倒数是2，-3的倒数是-31，-53的倒数是-35.2．除法的运算法则法则一：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即：a÷b=a·b1(b≠0)法则一表明了有理数的除法和乘法可以互相转化，由于0没有倒数，所以除数不能为0.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，得0.3．利用除法化简分数除法可以写成几种不同的形式，例如：6÷3可以写成36，还可写成6∶3.说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.4．关于运算律因为除法可以转化成乘法，所以乘法的运算律有的在除法中适用，例如乘法的分配律在除法中的应用，如（-2565）÷（-5）=（25+65）÷5=25÷5+65÷5=5+61=561，但是乘法的交换律和结合律在除法中是不适用的，如6÷5≠5÷6，（6÷2）÷3≠6÷（2÷3）【重点难点解析】1.本节的重点是有理数除法法则；难点是确定商的符号和灵活运用除法的两个法则.2.根据倒数的意义可知，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.在表示一个数（0除外）的倒数时，只要把这个数的分子、分母颠倒位置就可以了.3.对于除法的两个法则.在计算时可根据具体的情况运用.一般在不能整除的情况下应用第一个法则.如141÷（-132）=45×（-53）=-43；在能整除的情况下，应用第二个法则比较方便，如：（-16）÷（+2）=-16÷2=-8，写成（-16）÷2=-16×（+21）=-8就繁琐了.例1计算（1）（-40）÷（-8）；（2）（-5.2）÷3253.分析:题(2)∵5.2=526,32578253,∴原式=(-526)×7825.解:(1)(-40)÷(-8)=5;(2)(-5.2)÷3253=-526×7825=-35=-132.注:题(1)能整除,在确定商的符号之后,直接除比较简便;题(2)的除数是分数,把它转化为乘法比较简便.例2计算-2.25÷181×(-8)分析:把小数化为分数,除法转化为乘法,带分数化为假分数,即-4998×(-8)再乘.解:-2.25÷181×(-8)=-4998×(-8)=16注:有理数的乘除法运算是同一级运算,因此应按照从左到右的顺序进行运算.错误的解是-2.25÷181×(-8)=-2.25÷89×(-8)=-2.25÷(-9)=41,原因是先乘后除了.为了防止这类错误,应化除为乘.例3计算(-631)÷(141327291)错解:原式=(-631)÷91+631÷72+(-631)÷32-(-631)÷141=-71+181-92421=12614=91正确:原式=-631÷12653=-631×53126=-532注:乘法对加法满足分配律,但除法对加法并不满足分配律.只有当把除法转化为乘法以后,才能运用分配律.例4：化简下列分数(1);62(2)-93;(3);30(4)-.ba解:(1);3162)6()2(62(2)-93[3÷(-9)]=-(-31)=31;(3)30=0÷(-3)=0;(4)-ba[(-a)÷(-b)]=-a÷b=-ba.注:利用除法化简分数,主要是简化分数的符号,一般地有,分数的分子、分母、分数本身的三个符号中，任意改变其中两个的符号，分数的值不变，这一结论使上述问题化简过程更为简便，如第（4）小题-.bababa【难题巧解点拨】例1计算：651715÷（-1312）+（-17173）÷（-1312）解：651715÷（-1312）+（-17173）÷（-1312）=651715×(-1213)+(-17173)×(-1213)=481712×(-1213)=(48+1712)×(-1213)=48×(-1213)+1712×(-1213)=-52-1713521713注：本题灵活运用运算律，使繁杂的计算变得简便.【课本难题解答】1．计算（1）（-43）×（-121）÷（-241）；（2）-6÷（-0.25）×1411解：（1）（-43）×（-121）÷（-241）=（-43）×（-23）×（-94）=-43×23×94=-21（2）-6÷（-0.25）×1411=-6÷(-41)×1411=6×4×1411=76187132注：先将小数化成分数，将除法变成乘法，最后确定结果的符号.2．判断下列各式是否成立：（1）bababa；(b≠0)（2）.baba(b≠0)解：（1）、（2）均正确.注：根据分数与除法互化来做：如：babababa)()(，如：ba=(-a)÷b=-a÷b=-ba,aba÷(-b)=-a÷b=-ba∴.bababa【典型题】例1填空题：（1）-1.5的倒数是;的倒数是-0.6.（2）a-b(a≠b)的倒数是;（3）-12÷(-3)=;-2÷(-6)=;（4）13÷(-52)=;-231÷(-161)=;（5）1615;-1018=.解：(1)-32;-35(2);1ba(3)4;31;(4)-41;2;(5)1615;154注意：（1）一般倒数用分数表示比较方便；（2）只有在a-b≠0的条件下，a-b才有倒数；（3）利用除法可以简化分数的符号，一般地有分数的分子、分母、分式本身的三个符号中，任意改变其中两个的符号，分数的值不变.例2计算题：（1）-54×241÷（-241）×92；（2）（-1283716）÷（-32）；（3）[1521-(143÷152+143÷321)]÷(-183).解：（1）原式=54×49×94×92=54×92=12（2）原式=128÷32+3716÷32=4+741=4741（3）原式=-[1521-（47×75+47×72）×118]=-[1521-（45+42）]×118=-455×118=-10注意：（1）如果算式中只含有乘除法运算，应按从左到右的顺序进行运算，不能乱.（2）含有加减乘除的混合运算中，要先算乘除，再算加减，遇到括号要先算括号里面的.例3计算：-841+841÷（-2127×313）解：原式：=-841+433÷（-1231×313）=-841+433÷（-41）=-841-33=-4141【练习】（时间45′，满分100分）1．选择题：（1）两个有理数的商是正数，这两个数一定是（）A．都是负数；B．都是正数C．至少一个是正数；D．两数同号.（2）计算：（-1）÷（-5）×（-51）的结果是（）A．-1；B．1；C．-251D．-25.（3）下列说法错误的是（）.A．任何有理数都有倒数；B．互为倒数的两数的积等于1；C．互为倒数的两数符号相同；D．1和-1互为负倒数.（4）一个数的倒数的相反数是351，则此数是（）A．516；B．165；C．-516；D．-165.（5）若aa1,则a满足（）A．a1;B．0a1或a-1;C．a-1;D．-1a0或a1（6）两数的商为正，那么这两数（）A．和为正；B．差为正；C．积为正；D．以上都不对.（7）下列说法错误的是（）A．小于-1的数的倒数大于其本身；B．小于1的正数的倒数大于其本身；C．一个数的倒数不能等于它本身；D．m-n(m≠n)的倒数是nm1.（8）如果ab0,那么下列式子成立的是（）.A．;11ba＜B．ab1;C．1＜ba;D．1＞ba2.计算：（1）21÷（-43）；（2）（-65）÷（+331）；（3）-71÷（-7）；（4）（41-21）÷21（5）169÷（-43）÷（-53）；（6）（-0.1）÷10÷(-100);（7）(-81)÷241×94÷(-16)÷(-41);（8）(162116243524)÷8÷53×(-7).3.写出下列各数的倒数：-4，151，2.4,-1,174-0.014．化简分数：（1）-912；（2）164；（3）-23；（4）515.5．列式计算：（1）一个数的451倍是-5，这个数是多少？（2）一个数与12013的积是-42019，求这个数.（3）0．378的多少倍是-2.646？【提高训练】1．填空题（1）的倒数是-0.125;-221的负倒数是;0.36的倒数的相反数是.（2）如果a,b互为倒数,那么3ab=,如果abc0,且a,b异号,那么c0.（3）当a时,1aa,当a时,1aa.（4）当m=时,2÷(3m+1)没有意义;当n=时,(1-2n)÷11=0.（5）两数的积是-1,其中一个数是-132,那么另一个数是.（6）-21和31的和的倒数是;-21和31的倒数和是.（7）若a11,则a的取值范围是;若a11,则a的取值范围是.（8）若ab0,且ab,则a0,b0.（9）若accbba则,0,00.（10）如果-1ab0,那么a1b1.2.计算(1)[1)436183(241×24]÷5;(2)-121÷43×(-0.2)×143÷1.4×(-53);(3)(51-31)×(51+31)÷51×(-31)(4)(-1132)÷0.5-(-2121)÷0.5+(-1031)÷0.5;(5)13÷1.5-0.34÷321+31÷131-0.34÷151.参考答案：【基本练习】1.(1)D;(2)C;(3)A;(4)D;(5)B;(6)C;(7)C;(8)D.2.(1)-32;(2)-;41(3);491(4)-21;(5)1;41(6)0.0001;(7)-4;(8).1523.-;41,15,125,-1,117,-100.4.(1)34;(2);41(3)-23;(4)-3.5.(1)-1214(2)-3;(3)-7【提高训练】1.(1)-8,52,-925;(2)3,;(3)0,0;(4)-31,21;(5)53;(6)-6,212;(7)0a1,a0或a1;(8),;(9);(10).2.(1)1245;(2)-0.3;(3)13516(4)-1[提示:利用分配律](5)12.66