华南理工大学高等数学习题册第9章详细答案

院系班级姓名作业编号1第九章曲线积分与曲面积分作业作业作业作业13131313对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．dLxs∫ÑLyx=2yx=解：可以分解为及L[]1:,1,0,1Lyxyx′==∈[]22:,2,0,1Lyxyxx′==∈()12112200ddd11d12dLLLxsxsxsxxxxx=+=⋅++⋅+∫∫∫∫∫Ñ()()11113222220000121225512d14d1414828321212xxxxxx=+++=+⋅+=+−∫∫2．，其中为星形线在第一象限内的弧4433dLxys⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∫L33cos,sinxatyat==．π02t⎛⎞≤≤⎜⎟⎝⎠解：为L33cos,sin,0,,2xatyattπ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦223cossin,3sincos,3sincosdxdyattattdsattdtdtdt=−==原式()47224422330031cossin3sincos1sin2sin222attattdtattdtππ⎛⎞=+⋅=−⎜⎟⎝⎠∫∫()7772223333003311cos2cos2cos2cos2883atdtattaππ⎛⎞=−+=−+=⎜⎟⎝⎠∫3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点dxyzsΓ∫Γ．)3,4,1(),3,2,1(),0,0,0(解：[]:,,2,3,0,1,14123xyzABxtytzttdsdt=====∈=[]:1,3,,2,4,BCxzyttdsdt===∈=[]:,,4,3,0,1,26143xyzCAxtytzttdsdt=====∈=14023ddd23141314182ABBCxyzsxyzsxyzstttdttdtΓ=+=⋅⋅⋅+⋅⋅=−∫∫∫∫∫《高等数学》同步作业册24．，其中为螺线上相应于从变到()22dxyzsΓ+∫Γcos,sin,xttyttzt===t0的一段弧．1解：为Γ[]2cos,sin,,0,1,2xttyttzttdstdt===∈=+()()112222222001d2(22)222xyzstttdtttdtΓ+=⋅⋅+=+−++∫∫∫()()153222201229342634282322225353155tt⎡⎤−−=+−⋅+=−=−⎢⎥⎣⎦5．计算，其中L：．22dLxys+∫0,22=+aaxyx解：将L参数化，22cos,sincos,cos,cos,xrtyrtrartratxat==⇒===cossin,,,sin2,cos2,22yatttdxatdtdyatdtdsadtππ⎡⎤=∈−=−==⎢⎥⎣⎦2222222222002dcos2cos2sin2Lxysatadtatdtataππππ−+====∫∫∫6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内22edxyLs+∫222ayx=+xy=x所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分[]12:0,0,,;:sin,cos,0,,;4LyxadsdxLxatyattdsadtπ⎡⎤=∈===∈=⎢⎥⎣⎦21232:,0,,2;2aLyxxdsdtLLLL⎡⎤=∈==++⎢⎥⎣⎦从而22242222200000ed24aaaaxyxaxxaxLasedxeadtedxeeeππ+=+⋅+⋅=++∫∫∫∫112244aaaaaaaeeeeeππ=−++−=+−院系班级姓名作业编号3作业作业作业作业14141414对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；()()ddLxyxxyy++−∫L22221xyab+=解：为Lcos,sin,:02xatybttπ==→原式()()20sincossincoscossinatatbtbtatbtdtπ=−++−⎡⎤⎣⎦∫22222200sin2cos2sin2cos20224ababtababttdttππ⎛⎞⎛⎞++=−=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫(2)，其中是从点到点的一段直线；()dd1dxxyyxyzΓ+++−∫Γ()1,1,1()2,3,4解：是Γ111,1,12,13,:01213141xyzxtytztt−−−===+=+=+→−−−原式()()()10121231121ttttdt=+++++++−⎡⎤⎣⎦∫()()112006146713tdttt=+=+=∫(3)，其中是圆柱螺线从到dddyxxyzΓ−+∫Γ2cos,2sin,3xtytzt===0t=的一段弧；2πt=解：是Γ2cos,2sin,3,:02xtytzttπ===→原式()()202sin2sin2cos2cos3ttttdtπ=−−+⎡⎤⎣⎦∫()()2200432dttπππ=−+=−=−∫(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线(12e)d(cose)dyyLxyxyxy+−−∫L到点O(0,0),再沿x轴到点B(2,0)的弧段．2yx=解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；2:,:10AOyxx=−→:0,:02OByx=→《高等数学》同步作业册4原式220222010(12e)d(cose)2dx(e)dxxxxxxxxx−=+−−+∫∫220232210(12e2cos2e)ddxxxxxxxx−=+−++∫∫()22200004211113sinedde21sin1sin11xxxxxxxxee−−−−=−+++=−++=+−∫∫2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为FFFFy的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．m21xy−=()1,0()0,1FFFF解：{}{}{}2220,10,,,,:1,:01FxxdsdxdyLxyy=−=−==−→rr()()11352240028123515LLyyWFdsxdyyydyy⎛⎞==−=−−+=−−+=−⎜⎟⎝⎠∫∫∫rr3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中()(),d,dLPxyxQxyy+∫L为：(1)在平面内沿直线从点到点；xOy()0,0()1,1(2)沿抛物线从点到点．2yx=()0,0()1,1解：（1）2:,:01,0;112Lyxxdxdsdxdx=→=+=()()()()()(),,,d,d,,dds2LLLPxxQxxPxyxQxyyPxxQxxx+⎡⎤⎣⎦+=+=⎡⎤⎣⎦∫∫∫（2）22:,:01,0;14Lyxxdxdsxdx=→=+()()()()()()222,2,,d,d,2,dds14LLLPxxxQxxPxyxQxyyPxxxQxxxx+⎡⎤⎣⎦⎡⎤+=+=⎣⎦+∫∫∫院系班级姓名作业编号5作业作业作业作业15151515格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,L12．(24)d(536)dLxyxyxy−+++−=∫(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，L)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(−−DCBA不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．ddLxyxy++∫（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积(,,)d(,,)d(,,)dLPxyzxQxyzyRxyzz++∫分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．(,,)3(,,)ds5LPxyzRxyz+∫L2．计算,其中L是沿半圆周33(esin)d(ecos)dxxLIyyxyxy=−++∫从点到点的弧．22xay=−−),0(aA−),0(aB解：L加上构成区域边界的负向:0,:BAxxaa=→−()3322(esin)d(ecos)d3cosaxxLDaIyyxyxyxydydyσ−=−++=−+−∫∫∫∫34230233cos2sin4aaaadrdrydyaπππθ−=−+=−+∫∫∫3．计算,其中为椭圆e31de33dxyxyLyxyxxxyy⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎣⎦⎣⎦∫L正向一周．22221xyab+=解：原式()()e33e31xyxyDxxyyxydxdyxy⎡⎤∂∂=+−+−+−+⎢⎥∂∂⎣⎦∫∫44Ddxdyabπ==∫∫《高等数学》同步作业册64．计算曲线积分其中为连续函[]()sind()cosπd,LIfxyxfxyxy′=+−∫)(xf′数，是沿圆周按逆时针方向由点到点L222(1)(π)1πxy−+−=+(2,2π)A的一段弧．)0,0(O解：令1:,:02Lyxxπ=→则，原式()[]111π()sind()cosπdLLLLDIdxdyfxyxfxyxy+′=−=−−+−∫∫∫∫∫()2220π1()sin()cosππd2fxxfxxxxππππ′⎡⎤=−⋅+−+−⎣⎦∫()()2224222203π1()sinππ1222222xfxxππππππππ⎡⎤=−⋅+−−=−⋅++=−⎢⎥⎣⎦5．计算,其中为22ddLxyyxxy−+∫L（1）圆周（按反时针方向）；()()22111xy−+−=解：，而且原点不在()()222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy⎛⎞⎛⎞∂+−⋅−∂−===⎜⎟⎜⎟∂+∂+⎝⎠⎝⎠++该圆域内部，从而由格林公式，原式0=（2）闭曲线（按反时针方向）．1xy+=解：，但所围区域内()()222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy⎛⎞⎛⎞∂+−⋅−∂−===⎜⎟⎜⎟∂+∂+⎝⎠⎝⎠++部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周220.01xy+=（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，1L原式()1122dddd1001120.01LLDxyyxxyyxdxdyxyπ−−===+=+∫∫∫∫6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：xOy（1）；()()(),0,0ecosdsindabxyxyy−∫解：由于在全平面连续，从而该曲线积分()()esinesinecosxxxyyyxy∂∂−=−=∂∂院系班级姓名作业编号7在平面内与路径无关，沿折线积分即可，xOy()()()0,00,,bab→→原式()()00sinecosdcos11coscos1baxaaydybxbebeb=−+=−+−=−∫∫（2）；()()()()2,14231,023d4dxyyxxxyy−++−∫解：由于在全平面连续，从而该曲线()()233442423xxyxyxyyxy∂∂−=−=−+∂∂积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，xOy10,1,:122110xyyxx−−==−→−−原式=()()()24321211341dxxxxxxx⎡⎤−−−++−−⎣⎦∫()()243213235141dxxxxx⎡⎤=−+−−−−⎣⎦∫()()2543213115xxxxx⎡⎤=−+−−−−=⎣⎦（3）．()()()()π,20,0ecosdesindyyxmxxmyy−+−∫解：由于在全平面连续，从而该曲()()esinecosecosyyyxmyxxmxy∂∂−==−∂∂线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，xOy()()()0,0,0,2ππ→→原式()()2000cosesindyexmdxmyyππ=−+−∫∫()2200sin2myxmxπ⎛⎞=−+−⎜⎟⎝⎠2mmπ=−−7．设在上具有连续导数，计算()fx(),−∞+∞，()()2221d1dLyfxyxxyfxyyyy+⎡⎤+−⎣⎦∫其中L为从点到点的直线段．23,3⎛⎞⎜⎟⎝⎠()1,2解：由于在()()()()2222111yfxyxyfxyfxyxyfxyxyyyy⎡⎤+⎧⎫∂∂′⎡⎤−=+−=⎨⎬⎢⎥⎣⎦∂∂⎩⎭⎣⎦右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线《高等数学》同步作业册8积分即可，12:2,,:31Lxyyxx==→原式()()