行列式的基本性质与计算.ppt

返回1§2行列式的基本性质与计算一、行列式的基本性质二、行列式按任一行（列）展开返回2定义3设,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD,'212221212111nnnnnnTaaaaaaaaaDD',(1,2,.:)DDiiin是把第行换到第列注意一、行列式的基本性质'(TDDD或)称为的转置行列式.返回3因为nnnnnaaaaaaaD32122211100000,2211nnaaaDDaaaaaaTnnnn00022212111nnaaa2211性质2.互换两行(列),行列式改变符号.註：由性质1可知,行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立,反之亦然.所以性质1.行列式与它的转置行列式相等,即'.DD返回4註:换行:nnnjnjininaaaaaaaa111111jirr.111111nnninijnjnaaaaaaaa;ijrr换列:.jicc即例如:333222111zyxzyxzyx31cc.333222111xyzxyzxyz返回5又如:321321321cccbbbaaa32rr321321321bbbcccaaa12rr.321321321bbbaaaccc推论1.若行列式中某一行(列)的所有元素均为零,则D0.D返回6推论2.若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证明:将相同的两行互换,有性质3.若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即,DD0.D返回7nnnnininiiiinnaaacbcbcbaaaaaaD2122112222111211nnnniniinnaaabbbaaaaaa21212222111211nnnniniinnaaacccaaaaaa21212222111211返回8证明:当i=1时，由行列式的定义知nnnnnnnaaaaaacbcbcb21222211112121111jjjnjjMcb11111)()1(jjnjjMb1111)1(jjnjjMc1111)1(返回9nnnnnnaaaaaabbb212222111211nnnnnnaaaaaaccc212222111211当i1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可．i返回10.1111111111nnnininnnnininaaaaaakaakakaaa推论3.若行列式D中有某两行(列)对应元素成比例,则D=0.性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即返回11nnniniininaakakaaaaa111111(第j行)nnniniininaaaaaaaak111111推论20.(第i行)也就是返回12性质5把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式保持不变,即111211112112121211221212.nniiiniiinjjjnijijinjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaa返回13又333222111zyxzyxzyx13krr.131313222111kzzkyykxxzyxzyx注意:333222111zyxzyxzyx13krr.333222131313zyxzyxkzzkyykxx註:利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算.返回14性质1.行列式与它的转置行列式相等,即性质2.互换两行(列),行列式改变符号.性质3.若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质5把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式保持不变返回15例1.计算.3351110243152113D解:D21cc331511204351213112rr145rr72160112064802131返回1632rr72160648011202131234rr248rr15100010800112021313445rr250001080011202131.4025821返回17例2.计算.2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd解:从第四行开始,后行减去前行,得0022320363abcdaababcaaabcaababcD3221rrrr43rr返回184332rrrr0002003abcdaababcaabaab0002000abcdaababcaaba43rr4.a返回19例3.计算n阶行列式.abbbbabbDbbabbbba解:此行列式的特点是各行n个数之和均为a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:返回20abbbnababbnabbabnabbbbna1111D12cc13cc1ncc21rr31rr1nrr1000000000anbbbbababab1[(1)]().nanbab返回21型0121122000000nnnabbbcacaca例4：求)0(ia012112000000000niiniinbcabbbaaaa返回22例5：计算)4,3,2,1,0(4321ixxaaaaxaaaaxaaaaxDi1234111110000xaaaaxaaDaaxaaaax解:(镶边法)返回23123411111000000000000axaaxaaxaaxa411234111110000000000000000iiaxaxaxaxaxa)1)()()()((414321iiaxaaxaxaxax返回24二、行列式按任一行(列)展开111112121111221(1,2,,)nniiiiininDaAaAaAiDaAaAaAin按第行展开：按第行展开：返回25定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,,),iiiiininDaAaAaAin或1122(1,2,,).jjjjnjnjDaAaAaAjn证明:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和,再根据性质3,可将D表示成n个行列式之和:引理：一个n阶行列式，如果其中第i行（或第j列）所有元素除外都为零，则这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，即ijaijaijijAaD返回26111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaannnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa2111211001122(1,2,,).iiiiininaAaAaAin引理返回27推论.行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220();ijijinjnaAaAaAij112210().ijijnnjaAaAaAij证明:不妨设i＜j,考虑辅助行列式返回28nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaaD212121112111←第i行←第j行其中第i行与第j行对应元素相同,11122,ijijinjnDaAaAaA10;D故又将按第j行展开,有1D于是得11220().ijijinjnaAaAaAij返回29上述证法按列进行,同理可得112210().ijijnnjaAaAaAij证毕.小结:关于代数余子式的性质有:(1).1122,(),0,().ijijinjnDijaAaAaAij(2).1122,(),0,().ijijninjDijaAaAaAij或简写成:1,(),(1').0,().nikjkkDijaAij1,(),(2').0,().nkikjkDijaAij返回302141342112325062D例：已知122232424236AAAA求返回31.3351110243152113D例1.利用定理一计算前面的例1解:03550100131111115132cc34ccD0551111115)1(33返回320550261155526)1(318205.4012rr0551111115)1(3312cc返回33例2.计算2.nababDcdcd解:按第一行展开,有返回34000)1(0021cdcdcbababddcdcbabaan12n22n22n12n221)12(22)12()12()1()1(nnnnnDbcDad返回3522)(nDbcad222)(nnDbcadD递推公式)1(22)(nnDbcadD)2(22)(nDbcad)3(23)(nDbcad))1((21)(nnnDbcad21)(DbcadndcbaD2bcad.)(2nnbcadD故返回36例3.证明范德蒙(Vandermonde)行列式1222212111112111().nnnijnijnnnnxxxxxxDxxxxx说明:).()()()())(()(1223113121nnnnj＞injixxxxxxxxxxxxxx返回37234222234111:xxxxxx例如).)()((342423xxxxxx下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:用数学归纳法.21211Dxx,)(12jijixx1nn现在假设命题对于阶范德蒙行列式成立，要证明对阶范德蒙行列式也成立.1,nx从第行开始后行减去前行的倍,有因为2n所以当时命题成立．12xx返回382131122133112222213311111100()()().0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx1()(2,,)ixxin按第一列展开，并把每列的公因子提出来，就有232131122223111()()()nnnnnnnxxxDxxxxxxxxx213111()()(),nnxxxxxxD返回39231222231111nnnnnnxxxDnxxx其中是阶范德蒙行列式,213112()()()()nnijnijDxxxxxxxx