成都理工大学同济版高数下期未考试历年真题(5)答案

高等数学（Ⅱ）期末试题1/8同济版高数下期未考试历年真题(5)答案大题一二三四五六总分得分一、填空题(每题4分，共计24分)1、函数2()1fxx在0,1上的傅里叶级数是1sinnnbnx，且其和函数为()Sx，则：(7)S0。2、设22zxzyy，其中为可微函数，则zy2zzyzyyzyzyy3、设函数333uxyz，则：(1,1,1)divgradu6。4、交换累次积分顺序1112),(xdyyxfdxyydxyxfdy),(105、球面22214xyz在点(1,2,3)处的法线方程是123123xyz或123xyz6、设空间曲线L:22220xyzaxyz，则曲线积分Lds2a得分高等数学（Ⅱ）期末试题2/8二、选择题（每题4分，共计16分）7、极限201cos()limsinxyxyx（D）。A2；B1；C不存在；D22；8、设平面经过原点与6,3,2P点，且与平面1：428xyz垂直，则此平面方程为（B）。A2320xyz；B2230xyz；C3220xyz；D2230xyz；9、设级数11!1nnnnn，则级数的敛散性为：（C）。A发散；B条件收敛；C绝对收敛；D无法判定；10、设函数22uxyz在点111,,22处的全微分是（B）。Adxdydz；B2dxdydz；C2dxdydz；D242dxdydz；三、解答下列各题（每小题6分，共18分）得分高等数学（Ⅱ）期末试题3/811、求曲线2223023540xyzxxyz在点(1,1,1)的切线方程。解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为1(1,1,1)(23,2,2)(1,2,2)nxyz2(2,3,5)n因此切线的方向向量为12(16,9,1)lnn由此得切线:1111691xyz法平面:16(1)9(1)(1)0xyz即169240xyz（也可视x为参数，方程两边对x求导）12、将函数13x在02x处展开成泰勒级数0(2)nnnax，并求0nna。解：11112352515xxx┅┅┅1分0122(1)()1555nnnxx┅┅┅2分10(1)(2)375nnnnxx┅┅┅1分∴1001154nnnna┅┅┅2分13、设),(xyxyfz，f具有二阶连续偏导数，计算22xz高等数学（Ⅱ）期末试题4/8解：221fxyyfxz----------------1阶导数3分232242122211222221223122112222)(2)(fxyfxyfxyfyfxyyfxyfxyfxyyfyxz-----------2阶导数3分四、解答下列各题（每小题6分，共18分）14、已知直角三角形的斜边长为l，求有最大周长的直角三角形，并求出最长周长。（用拉格朗日乘数法）解：设直角三角形的直角边分别为,(0,0)xyxy，周长为z则有zxyl且满足条件222xyl，┅┅┅2分构造拉格朗日函数：222,,Fxyxylxyl2221201200xxxFxFyFxyl解之得：2222xlyl21zl最大┅┅┅3分所以，直角三角形为等腰直角三角形时，周长最长，且最长周长为：21l┅┅┅1分高等数学（Ⅱ）期末试题5/815、计算22(3)d()dLxyxyxy，其中L为上半圆周从0,0O到4,0A。解：为了使用格林公式,添加辅助线段AO，它与L所围区域为D,则原式22(3)d()dLAOxyxyxy22(3)d()dOAxyxyxy4204dddDxyxx64=8+316、计算三重积分dddIzxyz其中是由22zxy及1z所围成的空间体解：在XOY坐标平面上的投影：22:1Dxy11200ddd4dddrIzxyzrrzz121014[]d22rrzr120(1)d4rrr五、解答下列各题（每小题6分，共18分）得分高等数学（Ⅱ）期末试题6/817、求幂级数01nnnx的收敛域，并求其和函数：解:2lim1,11nnRn,而当1x时原级数发散，所以，收敛域为1,1┅┅┅2分令1001nnnndsxnxxdx2111dxdxxx，┅┅┅3分sx211x，1,1x┅┅┅1分18、计算曲面积分2Izds，其中为锥面2204zxyz解：2222:,,:16zxyxyDxy22222222112xyxydszzdxdydxdydxdyxyxy2422230022DIzdsxydxdydrdr128219、计算曲面积分22322Ixzdydzxyzdzdxyzdxdy，其中是上半球面224zxy的上侧。高等数学（Ⅱ）期末试题7/8解：122322xzdydzxyzdzdxyzdxdy222xyzdxdydz22222000sinddrrdr2222200064sin5ddrrdr12232228xyDxzdydzxyzdzdxyzdxdydxdy故64104855I20、设0,1fxC，证明11001fxfyedxedy。解：1100fxfyedxedy0101fxfyxyedxdy0101fyfxxyedxdy010112fxfyfyfxxyeedxdy高等数学（Ⅱ）期末试题8/81212Ddxdy上下标要改