《应用多元统计分析》各章作业题及部分参考答案

   1应用多元统计分析[e-mail]各章作业题及部分参考答案     第2章 参数估计 1.设随机向量X的均值向量、协方差阵分别为μ和Σ，证明：(')'EXXμμ=Σ+。 2.设随机向量(,)pXNμΣ∼，又设1rprYAXb××=+，证明：(,')rYNAbAAμ+Σ∼。 3.设3(,),1,2,,10iXNiμΣ=∼，则101()()'iiiWXXμμ==−−∑~________________。 4.设,1,2,,16iXi=来自正态总体(,)pNμΣ，X和L分别为该正态总体的样本均值和样本离差阵，则2115[4()'][4()]TXLXμμ−=−−∼__________________。 5.设随机向量123(,,)Xxxx′=，且协差阵4434923216−⎡⎤⎢⎥Σ=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，则它的相关阵R=_______。 参考答案 1. 因为()[()()'](')()()'(')'VXEXEXXEXEXXEXEXEXXμμΣ==−−=−=−，故(')'EXXμμ=Σ+。 2.由题意可知，Y服从正态分布，()()()EYEAXbAEXbAbμ=+=+=+，()()()''VYVAXbAVXAAA=+==Σ，故(,')rYNAbAAμ+Σ∼。 3.3(10,)WΣ。 4.2(,15)Tp或者15(,)16pFpnpp−−。 5. 231382113631186R⎡⎤−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦   第三章 假设检验 对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得到样本数据如下表。根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三项指标的均值0(90,58,16)'μ=，现欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。    2应用多元统计分析[e-mail]表1                          某地区农村男婴的体格测量数据 编号 身高（cm） 胸围（cm） 上半臂围（cm） 1 2 3 4 5 6 78 76 92 81 81 84 60.6 58.1 63.2 59.0 60.8 59.5 16.5 12.5 14.5 14.0 15.5 14.0 解：作如下假设 0010:,:HHμμμμ=≠ 经计算，求的样本均值向量(82.0,60.2,14.5)'x=，0(8,2.2,1.5)'xμ−=−−，样本协差阵31.68.040.5008.043.1721.3100.51.311.9S⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则10.1863-0.63190.3866-0.63192.5840-1.61530.3866-1.61531.5383S−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。 故2100()'()670.07420.445TnxSxμμ−=−−=×=。  查2T分布表，得临界值20.05(3,5)46.383T=，所以在显著水平0.05α=下，拒绝原假设0H，即认为农村与城市的2周岁男婴在上述指标的均值有显著差异。 解法二：利用F统计量，查表得0.05(3,3)9.28F=，于是有：  20.051420.44584.089(3,3)9.28(1)5npFTFnp−==×==− 所以在显著水平0.05α=下，拒绝原假设0H，即认为农村与城市的2周岁男婴在上述指标的均值有显著差异。  第4章 叛变分析 1、在企业的考核种，可以根据企业的生产经营情况把企业分为优秀企业和一般企业。考核企业经营状况的指标有：资金利润率=利润总额/资金占用总额；劳动生产率=总产值/职工平均人数；产品净值率=净产值/总产值。  三个指标的均值向量和协方差矩阵如下。现有二个企业，观测值分别为（7.8，39.1，9.6）和（8.1，34.2，6.9），问这两个企业应该属于哪一类？ 变量均值向量协方差阵优秀一般资金利润13.55.468.3940.2421.41劳动生产率40.729.840.2454.5811.67产品净值率10.76.221.4111.677.90 2、 设123,,GGG三个组，欲判别某样品0x属于何组，已知1230.05,0.65,0.3,ppp===    3应用多元统计分析[e-mail]102030()0.10,()0.63,()2.4fxfxfx===，假定误判代价矩阵为：  3、设已知有两个正态总体1G和2G，且126μ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，242μ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，121119⎡⎤Σ=Σ=⎢⎥⎣⎦，而其先验概率分别为120.5qq==，误判损失为4(2|1)Ce=，(1|2)Ce=，用Bayes判别法确定样本35X⎛⎞=⎜⎟⎝⎠属于哪一个总体。 参考答案 1、 解：易得 10.1193370.027530.282760.027530.0331290.0256590.282760.0256590.854988−−−⎡⎤⎢⎥Σ=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，128.110.94.5μμ⎡⎤⎢⎥−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，129.45()/235.258.45μμ⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。 判别函数为：112()()'()WxXμμμ−=−Σ− 9.450.1193370.027530.282768.1(35.25)'0.027530.0331290.02565910.98.450.282760.0256590.8549884.5X−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦。 将127.88.139.134.29.66.9XX⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，分别代入判别函数得：1()4.0883WX=，属于第一类；2()-2.2955WX=，属于第二类。 2、 解：要判断0x属于哪个总体，只要前计算出3个按先验分布加权的误判平均损失 3001()(|)())jiiihpCjif==∑xx，1,2,3j=。有 10220330()()(1|2)()(1|3)51.39hxpfxCpfxC=+=； 20110330()()(2|1)()(2|3)36.05hxpfxCpfxC=+=；  判   别   为  真  实  组  1G 2G 3G 1G (1|1)0C= (2|1)10C= (3|1)200C= 2G (1|2)20C= (2|2)0C= (3|2)100C= 3G (1|3)60C= (2|3)50C= (3|3)0C=    4应用多元统计分析[e-mail]30110220()()(3|1)()(3|2)41.95hxpfxCpfxC=+=。 由于32001()(2|)())36.05iiihpCif===∑xx最小，故将0x判给2G。 3、由Bayes判别知1112122()()exp[()()]exp(424)()fxVxxxxfxμμμ−′==−Σ−≈++，其中12342μμμ+⎛⎞==⎜⎟⎝⎠，1911118−−⎡⎤Σ=⎢⎥−⎣⎦，1224μμ−⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠，321(1|2))(2|1)qCdeqC−==，则3()ln34WXd==−，故1XG∈。 第6章 主成分分析 1、 设随机向量123(,,)xxxx′=的协方差矩阵为120250002−⎡⎤⎢⎥Σ=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求x的主成分及主成分对变量ix的贡献率iv（1,2,3i=）。 2、设12344(,,,)(0,)XxxxxN′=Σ∼，协差阵1111ρρρρρρρρρρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Σ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，01ρ≤。 （1）试从Σ出发求出X的第一总体主成分。 （2）当ρ取多大时才能使第一主成分的贡献率达95%以上？ 参考答案 1、解：Σ的特征根分布为15.83λ=，22.00λ=，30.17λ=，相应的特征向量分别为10.3830.9240.000T⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2001T⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，30.9240.3830.000T⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故主成分分别为 112233120.3830.924;;0.9240.383yxxyxyxx=−==+若只取一个主成分，则贡献率为5.8372.875%5.832.000.17=++。 下面求出3个主成分对(1,2,3)ixi=的贡献率： i ix与1y的相关系数 平方 ix与2y的相关系数平方 贡献率 1 0.925 0.855 0 0 0.855 2 ‐0.998 0.996 0 0 0.996 3 0 0 1 1 1    5应用多元统计分析[e-mail]由此可见1y对第三个变量的贡献率为0，这是因为3x与1x和2x都是线性无关的，在1y中没有包含3x的信息，这是只取一个主成分就显得不够了，故应再取2y，此时累计贡献率可得98.875%。 注：表格中21111115.830.38310.925tρλσ==×=，21212122(0.924)50.998tρλσ==×−=−，130ρ=。 2、解：（1）由11011λρρρρλρρρρλρρρρλ−−−−⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥=⎢⎥−−−−⎢⎥−−−−⎣⎦，得特征根113λρ=+，2341λλλρ===−，解1λ所对应的方程123411011xxxxλρρρρλρρρρλρρρρλ−−−−⎛⎞⎡⎤⎜⎟⎢⎥−−−−⎜⎟⎢⎥=⎜⎟⎢⎥−−−−⎜⎟⎢⎥⎜⎟−−−−⎣⎦⎝⎠，得1λ对应的特征向量为11111t⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，标准化后得11/21/21/21/2T⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，故第一主成分为1123411112222yTXxxxx′==+++。 （2）第一主成分的贡献率为112341395%4λρλλλλ+=≥+++，得0.933ρ≥。 第7章因子分析1、设123(,,)xxxx′=的相关系数矩阵通过因子分析分解为121330.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013R⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则1x的共同度21h=；1x的特殊度21σ=；公因子1f对x的方差贡献21g=；1x的方差11σ=。   6应用多元统计分析[e-mail]2、设标准化变量123,,xxx的协差阵（即为相关阵）为1.000.630.450.631.000.350.450.351.00R⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。（1）计算因子载荷阵A，并建立因子模型。（2）计算公因子jf的方差贡献2(1,2,3)jgj=，并说明其统计意义。第9章 典型相关分析 设12(,)XX′=X，12(,)YY′=Y是来自正态总体中的随机向量。已知⎡⎤=⎢⎥⎣⎦XZY的协差阵1211251211231235⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦11122122ΣΣΣΣΣ，试求X，Y的第一对典型相关变量和相应的典型相关系数。 解：5221−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦-111Σ，5332−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦-122Σ，则52115311522112321221−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-1-1111122221MΣΣΣΣ53115211723212211241−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-1-1222211112MΣΣΣΣ1M的特征根为22125.828,0.712λλ==，解得21λ对应的特征向量为[0.924,0.382]′=−1a。2M的特征根为22125.828,0.172γγ==，解得21γ对应的特征向量为[0.863,0.505]′=−1b。X，Y的第一对典型相关变量分别为 1120.9240.382UXX=−+，1120.8630.505VYY=−。 相应的典型相关系数分别为15.828λ=，15.828γ=。