36等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

1[例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cba1,1,1成等差数列，求证：（1）cbabacacb,,成等差数列；（2）2,2,2bcbba成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bcbbabbcabacbcbacbabacacbbcacabcaaccacabacabacbccbaacbcabacbaccabca[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.[解析]设公比为2421281024,142531nnaaaaaaaq)1(24211nqa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321nnqanqaaaaannnn得代入得将而（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121kkkaaankkk其中恰为等比数列求数列.}{项和的前nkn[解析],,,,171251751aaaaaa成等比数列①②①②2.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121nnSnkkdkddkaadaaadaaaqadaddaddaadannnnnnnnknnkknnn项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或adddddaadddadaaadada（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为)15(15,5,5,15aaaaa,2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222amamamamamamamamamammaNmmaaaa且均为正整数与解得),(1262不合或aa所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在①②①，②32.、在等差数列na中，41a,且1a,5a,13a成等比数列，则na的通项公式为（）（A）13nan（B）3nan（C）13nan或4na（D）3nan或4na3、已知cba,,成等比数列，且yx,分别为a与b、b与c的等差中项，则ycxa的值为（）（A）21（B）2（C）2（D）不确定4、互不相等的三个正数cba,,成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么2x，2b，2y三个数（）（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列na的前n项和为nS,nnSn24212,则此数列的通项公式为（）（A）22nan（B）28nan（C）12nna（D）nnan26、已知))((4)(2zyyxxz，则（）（A）zyx,,成等差数列（B）zyx,,成等比数列（C）zyx1,1,1成等差数列（D）zyx1,1,1成等比数列7、数列na的前n项和1nnaS，则关于数列na的下列说法中，正确的个数有（）①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A）4（B）3（C）2（D）18、数列1,1617,815,413,21,前n项和为（）（A）1212nn（B）212112nn（C）1212nnn（D）212112nnn9、若两个等差数列na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为（）（A）97（B）78（C）2019（D）8710、已知数列na的前n项和为252nnSn,则数列na的前10项和为（）（A）56（B）58（C）62（D）6011、已知数列na的通项公式5nan为,从na中依次取出第3，9，27，…3n,…项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（）（A）2)133(nn（B）53n（C）23103nn（D）231031nn12、下列命题中是真命题的是()4A．数列na是等差数列的充要条件是qpnan(0p)B．已知一个数列na的前n项和为abnanSn2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C．数列na是等比数列的充要条件1nnabaD．如果一个数列na的前n项和cabSnn)1,0,0(bba,则此数列是等比数列的充要条件是0ca二、填空题13、各项都是正数的等比数列na，公比1q875,,aaa,成等差数列，则公比q=14、已知等差数列na，公差0d,1751,,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa=15、已知数列na满足nnaS411,则na=16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、解答题17、已知数列na是公差d不为零的等差数列，数列nba是公比为q的等比数列，46,10,1321bbb，求公比q及nb。18、已知等差数列na的公差与等比数列nb的公比相等，且都等于d)1,0(dd,11ba，333ba,555ba,求nnba,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。20、已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。21、数列na的前n项和记为11,1,211nnnSaaSn（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求nT22、已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列nb满足121114.4...4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；数列综合题一、选择题题号1234567891011125答案BDCAAACADDDD二、填空题13.25114.292615.n)31(3416.63三、解答题17.a1b=a1,a2b=a10=a1+9d,a3b=a46=a1+45d由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1∴bn=3·4n-1-218.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d①a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②②①,得243151dd=2，∴d2=1或d2=51,由题意，d=55,a1=-5。∴an=a1+(n-1)d=55(n-6)bn=a1dn-1=-5·(55)n-119.设这四个数为aaqaqaqa2,,,则36)3(216·aaqaqaaqaqa②①由①，得a3=216,a=6③③代入②，得3aq=36,q=2∴这四个数为3，6，12，1820.解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q所以2q+2q=203,解得q1=13,q2=3,当q1=13,a1=18.所以an=18×(13)n－1=183n－1=2×33－n.当q=3时,a1=29,所以an=29×3n－1=2×3n－3.21.解：(I)由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaaaan又21213aS∴213aa故na是首项为1，公比为3得等比数列∴13nna（Ⅱ）设nb的公差为d6由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bdbd又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd解得122,10dd∵等差数列nb的各项为正，∴0d∴2d∴213222nnnTnnn22（I）：*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列。12.nna即2*21().nanN（II）证法一：1211144...4(1).nnbbbbna12(...)42.nnbbbnnb122[(...)],nnbbbnnb①12112[(...)(1)](1).nnnbbbbnnb②②－①，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb③21(1)20.nnnbnb④④－③，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbbnN7nb是等差数列。