均值不等式优质课件

§3.2§3.2学习要求1．理解均值不等式的内容及证明．2．能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3．能初步运用均值不等式证明简单的不等式．学法指导1．应用均值不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件，公式a2＋b2≥2ab只要求a、b是实数，而公式ab≤a＋b2强调a、b必须是非负数．2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2填一填·知识要点、记下疑难点1．如果a，b∈R，那么a2＋b2____2ab(当且仅当______时取“＝”)．2．若a，b都为____实数，那么a＋b2____ab(当且仅当a____b时，等号成立)，称上述不等式为_____不等式，其中______称为a，b的算术平均值，______称为a，b的几何平均值．≥a＝b正≥＝均值a＋b2ab本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2填一填·知识要点、记下疑难点3．均值不等式的常用推论(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；(2)当x0时，x＋1x≥____，当x0时，x＋1x≤____；(3)当ab0时，ba＋ab≥____，当ab0时，ba＋ab≤____；(4)a2＋b2＋c2____ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．4．当a0，b0且a≠b时，a＋b2，ab，21a＋1b，a2＋b22按从小到大的顺序排列为________________________________．2－22－2≥21a＋1baba＋b2a2＋b22本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一均值不等式的证明问题1利用作差法证明：a∈R，b∈R，a2＋b2≥2ab.证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”．本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2当a0，b0时，a＝(a)2，b＝(b)2.据此证明：a0，b0时，a＋b≥2ab.证明∵a＋b－2ab＝(a)2＋(b)2－2a·b＝(a－b)2≥0.∴a＋b≥2ab.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究下面是均值不等式ab≤a＋b2的一种几何解释，请你补充完整．如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于点D，连接AD，BD，OD.由射影定理可知，CD＝______,而OD＝______,因为OD____CD,所以a＋b2____ab，当且仅当C与O______，即______时，等号成立．aba＋b2≥≥重合a＝b本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二均值不等式的拓展问题当a0，b0时，21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22这是一条重要的均值不等式链，请你给出证明．证明由于ab≤a＋b2成立，只须证明ab≥21a＋1b和a2＋b22≥a＋b2成立即可．本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效∵ab－21a＋1b＝ab－2aba＋b＝a＋bab－2aba＋b＝aba＋b－2aba＋b＝aba－b2a＋b≥0，∴ab≥21a＋1b，即21a＋1b≤ab.∵a2＋b222－a＋b22＝a2＋b22－a＋b24＝2a2＋b2－a＋b24＝a2＋b2－2ab4＝a－b24≥0.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效∴a2＋b22≥a＋b2，即a＋b2≤a2＋b22.∴21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效典型例题例1已知正数0a1,0b1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b解析因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b2ab，a2＋b22ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0a1,0b1，所以a－10，b－10，因此a2＋b2a＋b，所以a＋b最大．D本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效小结(1)大小比较除了用比较法，也可利用已知的不等式．(2)本题是选择题，因此也可以采用赋值法，取特殊值解决．本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1设0ab，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是()A.12B．bC．2abD．a2＋b2解析方法一∵aba＋b22，∴ab14，∴2ab12.∵a2＋b22a＋b20，∴a2＋b2212，∴a2＋b212.∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)0，∴ba2＋b2，∴b最大．本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效方法二(取特殊值)取a＝14，b＝34，则2ab＝38，a2＋b2＝58，2ab12a2＋b2b，故选B.答案B本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效例2设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.证明b＋ca＋c＋ab＋a＋bc＝ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc＝ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc，∵a0，b0，c0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2，同理，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2.∴b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效小结在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.证明∵a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效例3abc，n∈M且1a－b＋1b－c≥na－c，求n的最大值．解∵1a－b＋1b－c≥na－c，且abc.∴n≤a－ca－b＋a－cb－c＝a－c2a－bb－c.∵对a、b、c上式都成立，∴n≤a－c2a－bb－cmin，∵a－c2a－bb－c≥a－c2a－b＋b－c22＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效小结一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则af(x)，x∈D恒成立⇔af(x)max；af(x)，x∈D恒成立⇔af(x)min.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8B．6C．4D．2解析只需求(x＋y)1x＋ay的最小值大于等于9即可，又(x＋y)1x＋ay＝1＋a·xy＋yx＋a≥a＋1＋2a·xy·yx＝a＋2a＋1，等号成立仅当a·xy＝yx即可，所以(a)2＋2a＋1≥9，即(a)2＋2a－8≥0求得a≥2或a≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.C本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．若0ab，则下列不等式一定成立的是()A．aa＋b2abbB．baba＋b2aC．ba＋b2abaD．baa＋b2abC解析∵0ab，∴2ba＋b，∴ba＋b2.∵ba0，∴aba2，∴aba.故ba＋b2aba.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．42C．26D．8解析∵a＋b＝3，B∴2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝28＝42.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是．解析x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立．⇔a≤x＋1x，x∈(0,1]恒成立∵x∈(0,1]，x＋1x≥2，∴a≤2.(－∞，2]本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4．a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.21．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中较小的数，用max(a，b)表示a，b中较大的数，则有min(a，b)≤21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.22．两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，也有a＝b.本课时栏目开关填一填研一研练一练