研一 数值分析课件

1数值分析NumericalAnalysis数值分析是学习和了解科学计算的桥梁！2数学的一种分类基础数学（理想化的）计算数学（实用化的）随机数学（圆滑的）3数值分析学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种方法的构造手法3.重视各种方法的误差分析4.做一定量的习题5.注意与实际问题相联系6.了解各种方法的算法与程序实现4教材与参考书1.《数值分析简明教程》，北京交通大学自编,教材科,20112.《数值分析》第四版，李庆杨等,清华大学出版社,20013.数学实验基础，王兵团，清华大学出版社，2008考试方法1.闭卷考试（可带一张A4纸资料）5第1章绪论本章主要介绍科学计算的特点、数值分析基本知识和概念，它们对学习数值分析、了解科学计算原理，以及进行科学计算都是很有帮助的。61.1学习数值分析的重要性思考：用一种计算机语言正确编程，计算机就一定能给出正确的结果，问题是这样简单吗？7例1.1将数列105nnxIdxx写成递推公式形式，并计算数列12,,II的值。解：因为111011111005551555nnnnnnnxxxIdxxxxdxdxIxn得到计算In的递推公式1151,2,1.1nnIInn8由10016ln55Idxx由递推公式（1.1）可依次算出I1，I2，……。实际中，计算时一般需要具体的数据，若取0I为准确到小数点后8位的近似值作为初始值，在字长为8的计算机上编程计算，可出现2120.3290211010I的结果，这显然是错误的！（为什么？）9用计算机解决实际问题的四个步骤1.建立数学模型；2.选择数值方法；！3.编写程序；4.上机计算。101.2计算机中的数系与运算特点1.计算机的数系数学中的实数123100.cxaaa其中9,4,3,2,1,0ia，c为整数。x称为十进制浮点数。进制的浮点数321.0aaaxc1,4,3,2,1,0ia。11计算机中实数tcaaaax321.01,4,3,2,1,0ia其中t（字长）是正整数；一般取为2,8,10和16；C（阶码）是整数，L≤c≤U，L和U为固定整数；1230.taaaa称为尾数；数x称为t位进制浮点数。机器数系：123(,,,)0.0,1,,1ctkFtLUaaaaaLcU是计算机进行实数运算所用的数系。在),,,(ULtF中，若10a称为规格化的浮点数。12机器数系的特点机器数系是有限的离散集。机器数系中有绝对值最大的非零数(常用M表示)和绝对值最小的非零数(常用m表示)。例如在4位十进制浮点数系F（10,4,-99，99）中，99100.9999M，99100.0001m。若一个非零实数的绝对值大于M，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m，则计算机产生下溢错误。上溢时，计算机中断程序处理;下溢时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。无论是上溢，还是下溢，都称为溢出错误。计算机把尾数为0且阶数最小的数表示数零。132.计算机对数的接收与处理计算机对数的接收设非零实数x是计算机接收的实数，则计算机对其的处理为（1）若),,,(ULtFx则原样接收x；（2）若),,,(ULtFx，Mxm，则用),,,(ULtF中最接近x的数)(xfl表示并记录x。14计算机对数的运算处理两个数在计算机中参与运算的方式为：（1）加减法先对阶，后运算，再舍入；（2）乘除法先运算，再舍入15例，某计算机的数系F（10,4,－99,99）的两个数x1=0.2337×10-1和x2＝0.3364×102，则运算过程如下12122222()(0.2337100.336410)(0.0002337100.336410)(0.336633710)0.336610flxxflflfl对阶运算舍入16121200()(0.2337100.336410)(0.786166810)0.7862100.7862flxxflfl运算舍入171.3误差准确值与近似值的差异就是误差，误差无处不在。1.误差的来源1).模型误差（也称描述误差）；2).观测误差（也称数据误差）；3).截断误差（也称方法误差）；4).舍入误差（也称计算误差）。18例如要计算e0.32函数值，由于ex的展开式212!!nxxxexn用近似公式212!!nxxxexn去计算e0.32，这样产生的误差就是截断误差。192.误差的定义（数学描述）定义1.1设x是准确值，x*是x的一个近似值，称差x*－x为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e*或e(x*)，即e(x*)=x*－x定义1.2称满足***exx的正数*为近似值x*的误差限。****xxx该范围常用**xx表示。20定义1.3设x是准确值，x*是x的近似值，称**exxxx为近似值x*的相对误差，记为e*r或er(x*)，即***rexxexxx重要结论！相对误差绝对值越小，近似程度越高。21定义1.4称满足的正数r*为x*的相对误差限。实用中相对误差限也用***rx表示！***rrxxex223.数值计算的误差定理1.1假设x*和y*分别是准确值x和y的一个近似值，则有四则运算的绝对误差估计1.****()exyexey2.******()exyyexxey3.*****2**()yexxeyxeyy23证明只证估计式2.由定义有*******************()()exyxyxyxyxyxyxyyxxxyyyexxeyyexxeyxx证毕。24把微分与导数的知识应用于误差中，有e(x*)=x*－x=dx**lnrxxdxexdxxx绝对误差和相对误差与微分的关系1）*dxex2）*lnrdxex25例1.2考查函数y=xn的相对误差与自变量x的相对误差关系。解取对数xnylnln取微分有xndydlnln由微分与误差的关系得出**nrrexnex26定理1.2设多元函数),,(21nxxxfu，自变量12(,,)nxxx的近似值为2***1(,,,)nxxx，则有多元函数12(,,)nfxxx的误差估计1）***12****121,,,,,,nnniiifxxxefxxxexx2）***12****121,,,,,,nnniiifxxxfxxxxx3）****12***12***112,,,,,,,,,nnirniinfxxxxfxxxxfxxx27证明利用Taylor展式有***1212***12*1***12*1,,,,,,,,,,,,nnnniiiinniiieudufxxxfxxxfxxxxxxfxxxexx28例1.3设有一长方体水池，测得其长、宽、深分别为500.01米，250.01米，200.01米，试按所给数据求出该水池的容积，并给出绝对误差限和相对误差限。解令L,W,H分别代表长方体水池的长、宽、深；V代表长方体水池的容积，有V=V(L,W,H)=LWH由题意有水池的长、宽、深的近似值为L*=50米，W*=25米，H*=20米，（L*）=（W*）=（H*）=0.01米29按所给数据求出该水池的容积为：V*=V(L*,W*,H*)=L*W*H*=502520=2500（米3）****************VVVeVeLeWeHLWHWHeLLHeWLWeH****************325200.0150200.0150200.0127.50VVVVLWHLWHWHLLHWLWH米***27.500.11%2500rVVV故有绝对和相对误差限为27.50米3和0.11%。304.计算机的舍入误差计算机对x的舍入绝对误差和舍入相对误差有如下估计1）()0.5cteflxxflx2）1()0.50.50.1cttrcxflxeflxx由此可知，计算机对任何实数的舍入相对误差限与实数本身无关，只与计算机字长t有关，其值为t15.0。因此常称teps15.0为计算机精度。311.4有效数字科学计算中常用有效数字来估计和处理误差，有效数字易算且与误差有密切关系。定义1.5若近似数x*的误差限是其某一位上数字的半个单位，就说近似数x*准确到该位；由该位自右向左数到x*的第一个非零数字若有n位，就称近似数x*有n位有效数字。32有效数字的数学描述设*120.10mkxaaa10,0,1,2,,9laa，m为整数，k为不小于正整数n的整数。若有关系式**0.510(1.4)mnexxx则称近似数x*有n位有效数字，此时x*有n位有效数字的值可取为120.10mnaaa。33可以证明：果十进制准确数x经过四舍五入得到近似数x*，则x*的有效数字位为将x*写为规格化浮点数后的尾数的位数。例如x＝0.00345,四舍五入得x*＝0.0035＝0.3510-2可知x*有2位有效数字。有效数字越多，绝对误差和相对误差就越小，因此近似数就越准确！这是科学计算中要尽可能多保留有效数字的原因。34例1.4求圆周率1415926.3的近似值13.14x和141.32x的有效数字。解:110.31410x，120.314110,1xm，由221105.015926.010015926.0x有m-n=-2，得n=3，x1有3位有效数字；再由232105.05926.0100005926.0x，有m-n=-2，得n=3，x2有3位有效数字。35例1.5已知近似数x*有5位有效数字，试求其相对误差限。解因为x*有5位有效数字，可以设*12510.10,1mxaaaa于是有n=5和*50.510mxx考虑x*的相对误差*5544*125110.5105101110100.1022mmxxaaaaax故有x*相对误差限为0.510-4。36有效数字与相对误差的关系定理1.3设近似数*120.10mkxaaa，10,0,1,,9laam为整数，nk有1)若x*有n位有效数字，则有**1*1110(1.5)2nrxxexax，2)若x*的相对误差**1*1110(1.6)21nrxxexax则x*有n位有效数字。37证明1)因为x*有n位有效数字，则有*0.510mnxx于是***121110.5100.100.5110100.2mnrmknnxxexaaaxaa382)由*1*111021nxxax有121**111211.11210.10110102121.11010212kmnnkaaaamnmnkaaaxxxaaaaaa证毕。利用定理1.3可以解决一些涉及有效数字和误差关系的问题。39例1.6为保证某算式的计算精度，要求参与计算的323的近似值x*的相对误