湖南长沙长郡中学2015年初一数学竞赛试题

2015年湖南长沙长郡中学初一数学竞赛试题2015年5月24日考试时量：60分钟满分：100分一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题5分，共30分）１、若不等式组mxxx148的解集是x3，则m的取值范围是(C)A.m3B．m≥3C．m≤3D．m32、用去分母方法解分式方程xxxxmxx11122，产生增根，则m的值为（B）A.–1或–2B.1或–2C.1或2D.–1或23、已知31)53(a，21)35(b，21)34(c，则a,b,c三个数的大小关系是BA．abcB.bacC.cbaD.cab4、点P是直线04yx上一动点，O为原点，则|OP|的最小值为(C)A.2B.2C.22D.45、已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，△AOD的面积为4，△BOC的面积为9，则梯形ABCD的面积为（A）（A）25（B）24（C）22（D）266、矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于（D）．（A）73757375()()()881616BCD二.填空题：(每题6分，共36分)7、已知xxxx1,41则_________8、方程xxxx34的解为9、在△ABC中，AB＝10，AC＝26，BC＝10，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是．10、若、是方程0532xx的两个实数根，则3222的值=11、分解因式：8)43)(3322xxxx（=12、已知x为实数，则分式12156322xxxx的最小值为学校姓名性别联系电话三、解答题（本大题共3题，13题10分，14,15每题12分，共34分）13、如图：已知△ABC，E为AB的中点，D为AE的中点,且AE=AC,求证：BC=2CDAEDCB15、如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.（1）求抛物线的解析式.（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A出发，沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线2yaxbxc的对称轴为2bxa）第19题图AEDCBF参考答案及评分标准：一．选择题：（每题5分，共32分）1-6：CBB，CAD二．填空题：（每题4分，共32分）7.±328.x=4（多一个答案-1的算错）9.1310.2411.)53)(4)(1(2xxxx12.4三、解答题：（每题12分，共36分）13、证明：设BC的中点为F,连接EF,易知：AC=2EF=AE=2DE则EF=DE,又EF∥AC,则∠FEC=∠ACE=∠AEC,又EC=EC则△EDC≌△EFC(SAS),则FC=DC=BC21,即BC=2CD14、（1）购进C种玩具套数为：50－x－y（2分）（2）由题意得405550(50)2350xyxy整理得230yx……（5分）（3）①(5040)(8055)(6550)(50)200pxyxy整理得：15250px……7分②购进C种电动玩具的套数为：5050(230)803xyxxx据题意列不等式组102301080310xxx，解得70203x……9分∴x的范围为70203x，且x为整数x的最大值是10∵在15250px中，15k＞0∴P随x的增大而增大∴当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元．……11分此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套．……（12分）15、（1）设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4),因为B（0，4）在抛物线上，所以4=a(0+3)(0-4)解得a=31所以抛物线解析式为2111(3)(4)4333yxxxx3分（2）连接DQ，在Rt△AOB中，2222345ABAOBO所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=7–5=2因为BD垂直平分PQ，则PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CABDQCDABCA即210,577DQDQ所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–107=257，2525177t所以t的值是257（3）因为抛物线的对称轴为122bxa所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线12x对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴于E，所以∠QED=∠BOA=90°DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO则：即107453QEDE所以QE=87，DE=67，所以OE=OD+DE=2+67=207，所以Q（207，87）设直线AQ的解析式为(0)ykxmk则2087730kmkm由此得8412441km所以直线AQ的解析式为8244141yx联立128244141xyx由此得128244141xyx所以M128(,)241则：在对称轴上存在点M128(,)241，使MQ+MC的值最小。12xQEDQDEBOABAO第19题图