欧几里得证明勾股定理简化版

欧几里得的证法设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在定理的证明中需要如下四个辅助定理：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等SAS。三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。其证明如下：1.AL⊥DE，分别与BC和DE直角相交于K、L。2.分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。3.AB＝FB,BC＝BD,∠ABC+∠ABF＝∠ABF+∠CBD4.因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。5.因为A与K和L在同一直线上，所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。同理正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。6.正方形面积BAGF=AB²，面积ACIH=AC²。7.把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC8.由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC=BC²9.由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²。