80微分流形,第4章,1-6节

第4章切向量场§4.1纤维丛丛结构是非常基本的数学对象。本质上它是满射决定的一种分类结构。具有一定拓扑均匀性的丛称为纤维丛，是一系列数学物理理论的基本框架，包括经典Hamilton力学，Maxwell电磁理论，现代相对论与Yang-Mills理论等等。4.1.A分类与满射平面的纤维化。设为欧氏平面。2{(,):,}xyxy=∈∈考虑它到x轴的投影：2:,(,)xyππ→=x。这是一个满射。1()xπ−是平行于轴的一条直y线，称为这种投影下的一条纤维。全平面由这样的纤维所组成：21()xxπ−∈=U。或者说，平面被这种投影纤维化了。2(,,π)平面的纤维化称为平面的一个丛结构，平面称为丛空间，2x轴称为底空间，π称为丛投影。集合E的一个分类，是指将它分解为两两不交的若干子集之并：EUVW=∪∪∪L，诸子集UV满足无交性（两两不交）与完备性（其并集等于集合,,,WLE）。容易看出，E的任何一个分类产生一个满射:fEX→，其中X的元素是{}。,{},{},UVWLE的任一点x，按照分类定义，属于且只属于某一个子集；例如x属于V，定义(){}fxV=。反之，任何一个满射产生一个分类。设,EB是两个集合，:EBπ→是一个满射。则首先我们有分解（分类的完备性）：1()xBExπ−∈=U。事实上()111(){}()xBxBEBxπππ−−−∈∈===UUx。其次由于111()()({}{})xyxπππ−−−∩=∩y，故11(),()xyππ−−或相等（当xy=），或不交（当xy≠）。这就证明了分类的无交性。定义于集合E上的任意一个满射决定的上述分类，称为E上的一个丛结构。由集合论我们知道，集合E中任意一个等价关系决定集合E的一个分类。反之，集合E的任意一个分类决定集合E中的一个等价关系。49由此可见，对于一个集合而言，下列四个对象中的任何两个，都是互相决定的：分类、满射、丛结构、等价关系。4.1.B丛结构定义：设,EB是两个集合，:EBπ→是一个满射。三重组(,,)EBπ称为一个丛结构，E称为丛空间（简称丛），B称为底空间。xB∀∈，E的子集1()xπ−称为E的一条纤维。E按满射的分类称为1()xBExπ−∈=UE的纤维化。例1。笛卡儿积。设,XY是两个集合。投射:XYXπ×→，(,)xyxπ=，是昀简单的一种丛，称为积丛或平凡丛。例2。圆柱面。通过粘合矩形[,](1,1)ππ−×−的一对对边得到，是圆周与开线段1S(1,1)I=−的笛卡儿积。它具有丛构造。圆柱面的中线取为底空间，由矩1(,,SISπ×1)}1S形中线[,]{0ππ−×粘合两端而得。圆柱面上任一点沿母线运动得到与中线的唯一交点qp，由此定义丛投射()qpπ=。反之，任取圆柱面中线上一点，过此点的母线p1()pπ−为丛的纤维。很重要的一点是，它与I同胚，且线性同构。换句话说，各条纤维在拓扑上与代数上都是均匀的。因此它就不仅是集合论水平上的丛，而是微分拓扑水平上的纤维丛了。圆柱面的纤维化Möbius带的纤维化例3。Möbius带。可以通过粘合矩形[,](1,1)ππ−×−的一对对边得到，所不同的是，在粘合前需扭转180度。它具有丛构造1(,,)MSπ。底空间由矩形中线[,1S]{0}ππ−×粘合两端而得。丛投射的象点仍定义为沿母线运动得到的与中线的交点p。丛纤维1()pπ−仍为过p的母线。在整体上，Möbius带不再是笛卡儿积；但在局部上仍旧是。取一个充分小的开集U，则U与Möbius带的一个开集同胚。有人形象地将Möbius带称为“扭1S⊂I×积”。这是产生一般纤维丛概念的重要原因之一。在上面每一个例子中，各条纤维在拓扑上都是均匀的，都与一个固定的拓扑空间（称为典型纤维）同胚。在本章开始平面纤维化的例子中，典型纤维是。在上面例1中，进一步设,XY是拓扑空间，则典型纤维是X。例2，例3中的典型纤维都是。然而(1,1)I=−情况并不总是这样。例4。双曲线。考虑满射，zx2:π→2(,)2yxyπ==−。它给出平面的另一种纤维化。每一个都决定一个纤维。只要z∈1()zπ−0z≠，它都是双曲线，由两个连通分支50组成，彼此同胚。然而时的纤维时两条相交直线，只含一个连通分支，不可能0z=1(0)π−与其他任何纤维（含两个连通分支的双曲线）同胚。例5。来自力学中的例子。考虑位势为3()3Uxxx=−的单自由度系统。每一个能级E决定相平面上的一条相轨线；或者说，能量函数232:,(,)23yxffxy→=+x−单自由度系统，相平面的纤维化将相平面纤维化了。在下列五种不同的能级范围中，相应的相轨线给出拓扑上不同的纤维：(,23);23;(23,23);23;(23,);−∞−−−∞区间(23,23)E∈−称为一个“势阱”（potentialwell），当机械能落入此势阱，出现周期轨道；此时的纤维1()fE−有两个连通分支，一条是闭曲线，对应于周期轨；另一条是走向无穷远的轨道。在势阱底部，23E−，是一个稳定的驻点。在势阱边缘，23E出==现一个不稳定的驻点，称为“势垒”（potentialbarrier），一条“同宿轨道”，和另外两条轨道，都是一端趋于驻点、另一端趋于无穷。势垒处的这四条轨道，在几何上组成一条自交曲线。再往外，(23,)E∈∞，就只有走向无穷远的轨道了。不同能级上相轨线（纤维1()fE−）的不同拓扑类型，恰反映出系统的丰富的动力学行为。4.1.C纤维丛，向量丛纤维丛是更加“规矩”的丛：拓扑上是“均匀”的，局部上是平凡的积丛。是最贴近Möbius带的推广。设,EB是拓扑空间；:EBπ→是连续的满射。则首先在集合论层面，(,,)EBπ是一个丛。设进一步满足如下要求。（1）每一条纤维在拓扑上相同：与一个固定的拓扑空间（典型纤维）同胚。F（2）丛空间E是局部积丛，尽管整体上不一定是积丛：底空间有开覆盖{}Uα，产生丛空间的开覆盖{(，使得每一个开集1)}Uαπ−)1(Uαπ−同胚于积空间U。Fα×在制订纤维丛的定义时，这两条要求被概括在下列条件1中。条件1。存在拓扑空间；存在底空间FB的开覆盖{:}JUαα∈；存在同胚1:(),UFUJαααψπα−×→∀∈，满足(,),,xyxxUyFααπψ=∀∈∀∈o。51(,)UFααψ×称为丛E的局部坐标表示。命题：设满足条件1。令()(,)xyxyααψψ=。则（1）1:(xFα)xψπ−→是同胚。（2）若xUUαβ∈∩，则是同胚。1():xxgxFFβαβαψψ−→o证明：（略）条件2。存在拓扑空间的一个变换群。当FGxUUαβ∈∩时，。()gxGβα∈条件3。是连续映射。:gUUGβααβ∩→定义：设,EB是拓扑空间；:EBπ→是连续的满射。称(,,)EBπ为纤维丛，若存在拓扑空间，上的变换群G，和一族同胚FF{:Jα}ψψα=∈，满足条件1，2，3。由此可见，纤维丛是一个六元结构(,,,,,)EBFGπψ，满足条件1，2，3。定义：若,,EBF是微分流形，G是Lie群，,,gαβαπψ是光滑映射，则成为微分纤维丛。若是向量空间，G是线性群，Fαψ是线性同构，则得到向量丛。下文流形的切丛、余切丛、张量丛等，都是向量丛。4.1.D丛的截面(crosssection)定义：设,EB是拓扑空间；:EBπ→是连续的满射。丛E的一个局部截面，是底空间B的一个开子集U到丛空间的一个连续映射:UEσ→，满足(),xxxUπσ=∀∈o，（截面条件）当U，称B=σ为全局截面。例。积丛的截面。设有积丛：:,(,)XYXxyxππ×→=。任取它的一个截面：()12:,()(),()XXYxxxσσσ→×=σ。由截面条件容易证明：1()()xxxσπσ==o。因此积丛的截面一定满足()2(),(),xxxxσσ=∀X∈。积丛的截面由此立刻得到“积丛截面的象()2(),()XXXσσ=”=“映射2:XYσ→的图象”。这是一元函数图象的推广。52§4.2切丛4.2.A切丛的定义给定m维微分流形M。记其上全体切微分流形的切丛向量的集合为TM。每一个切向量X唯一确定一个切点pM∈。由此定义一个映射:,TMMXpπ→a。它显然是一个满射。因此在集合论意义上有一个丛结构(,,TMM)π；TM是丛空间，称为微分流形M的切丛。流形M是切丛TM的底空间，M的每一点p相应的纤维1()pπ−就是切空间pTM，切丛分解为各条纤维之并：ppMTMTM∈=U。由§2.4.C，每一条纤维TM都与线性同构。因此pmm是切丛的典型纤维。这是集合论意义下的丛。下面将证明，切丛是一个2维微分流形，它的拓扑与微分构m造来自维微分流形mM。4.2.B切丛的局部参数表示设M有微分构造{(。则切丛可表示为一族子集之并：,,):}iUxαααϕα∈J)1(JTMUααπ−∈=U。事实上，π是满射，故TM。将1()Mπ−=M表示为诸Uα之并，经简单换算即得此式。考虑切丛TM的子集1(U)απ−。对切向量1()XUαπ−∈，切点()pXUαπ=∈。故切空间有基底pTM1{,,m}xxα∂∂∂∂Lα，X按它展开：1miiipXyxα=∂=∂∑，展式系数1,,myyL唯一确定。这样，切丛的子集TM1(U)απ−中的元素X有个坐标：2m11(,,;,,)mmxxyyααLL，简记为(,)xyα。反过来，对U的任一成员mα×(,)py，按前式用唯一方式给出一个切向量X。这样我们便得到一个一一映射：11:(),(,)mmiiipUUXpyyxαααααψπψ−=∂×→==∂∑，容易证明它满足条件：53()(,),,mpyppUyααπψ=∀∈∀∈o。定义：(,mU)ααψ×称为切丛TM的局部参数表示；mUα×称为局部参数邻域（注意它是积空间）。4.2.C切丛的局部参数变换设流形的坐标卡(,,),(,,iUxUx)jαααβββϕϕ有交。则交集UUαβ∩中的坐标变换：1()()()xxxββααβααϕϕϕ−==o是光滑函数，这里11(,,),(,,)mmxxxxxxαααβββ==LL。若pUUαβ∈∩，则切空间有pTM两组基{},{i}jxxαβ∂∂∂∂，其中的每一个向量X都有两种展开式：11mmijijijXyyxxαβ==∂∂==∂∂∑∑%。由对偶算法：11()()(,)jjmmajjiijaiiiixxyXxyyfpyxxββαββααϕ==∂∂===∂∂∑∑%。由jβαϕ的光滑性，知(,)jafpyβ是mUα×中的光滑函数，且是的线性函数。yX作为切丛的元素，有两种参数表示：1(,)(,);(,)(,)(,).Xpypypypyαββαβαpyψψψψ−==∴=Φ%%o。由此得到切丛的局部参数邻域（是积空间）中的变换公式：():()();(,)(,),(,).mmUUUUpypypfpyβααβαββαΦ∩×→∩×=%a4.2.D切丛的拓扑构造构造拓扑，是集合论问题，关键在于选择正确的拓扑基。我们已经用集合论手段将切丛化为局部积空间：(1)(2)1()mUUααπ−×⎯⎯→⎯⎯→TM，手续（1）是一一映射，手续（2）是对Jα∈求并集。设分别是的开集，则全,DV,mUα体组成DV×mUα×的拓扑基。由此，全体()DVαψ×组成1(U)απ−的拓扑基。令α取遍指标集，便得切丛的拓扑基。J命题：切丛TM有拓扑基：{():(),(),mDVDUVJααψα}=×∈∈∈BTT，其中(),(mUα)TT分别表示,mUα的开集族。证明：只需证B满足拓扑基定义要求的“覆盖性”与“相交性质”。首先，注意B的54成员都是TM的子集。对于B的特定成员1()(mUU)αααψπ−×=，我们有1()()mJJTMUUTMαααααπψ−∈∈==×⊂UU。因此B覆盖。其次，取B的两个有交成员：TM12()()DVDVααββψψ×∩×≠∅，其中,DDαβ分别是,UUαβ的开集；是12,VVm的开集。任取上述交集中的一员X，则：()12(,),(,);,;,(,).XpypfpypDyVpDfpyVαββααββαψψ==∈∈∈∈故pDDUUαβα∈∩⊂∩β。因fβα连续，对上述，存在2Vp的开邻域DDDαβ⊂∩和y