华师版八年级数学下册-平行四边形

1平行四边形的性质及判定一、平行四边形的性质【知识要点及基础例题】1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的中心对称性及性质定理1：平行四边形的对边相等。例1、如图所示，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，有AC=DE。求证：AD=CE练习：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连结AD、EC。求证：△ADC≌△ECD3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等。例2、如图，在平行四边形ABCD中，40BA，求平行四边形ABCD各个内角的度数。4、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。例3、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=4，AC=6，并且AB⊥CA，求对角线BD的长。练习：如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。若AC=14，BD=8,AB=10，则△OAB的周长为（）5、平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。6、平行线间的距离①两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。②平行线的性质：平行线之间的距离处处相等。例4、如图，直线21ll∥，点P在直线1l上，点A、B在直线2l上，设△PAB面积为S。当点P运动到1P位置时，△PAB与△ABP1的面积相等吗？为什么？练习：如图所示，直线121,lll∥和AB的夹角135DAB，且AB=50mm,求两平行线21ll和之间的距离。2【思维拓展】一、利用平行四边形的性质进行计算例1、若平行四边形ABCD的对角线相交与O点，且AB≠BC，过O点作OE⊥AC，交BC于E。如果三角形ABE的周长为b。则平行四边形ABCD的周长是（）（例1图）例2、如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延长线于点F。若BC=2AB，，70FBC求EBC的度数。练习：1、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为12，则FC的长为（）2、如图，在平行四边形ABCD中，70A，将平行四边形ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则AMF等于（）二、利用平行四边形的性质进行证明例3、如图甲所示，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分ABCDAB和,并分别交CD于点E、F,AE、BF相交于点M。（1）求证：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明。（两种解法）练习：如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H。除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．3三、与平行四边形面积有关的计算例4、如图，点E是平行四边形ABCD内任意一点，平行四边形ABCD的面积是6，连结点E与平行四边形的四个顶点，求图中阴影部分的面积。练习：如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，AE=2EC，点F为AB上一点，BF=2AF，△BEF的面积为2平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。四、利用平行四边形的性质进行方案设计例5、如图是一块平行四边形贴片ABCD，且AB=2AD。现在想用这块贴片截出一个直角三角形，并要求斜边与AB重合，且面积最大，能否截出符合条件的三角形？如果能截出，画出截线；如果不能截出，请说明理由。练习：张大伯承包了一个呈四边形的池塘：如图所示，它的四个角A，B，C，D处均有一棵核桃树，张大伯今年养鱼喜获丰收，明年准备把池塘面积扩大一倍，但又不想毁掉这四棵大树，并且扩建后的池塘呈平行四边形形状．张大伯这一设想是否能实现？请你帮助他解决一下，并画出草图．二、平行四边形的判定【知识要点及基础例题】平行四边形的判定方法1：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。例1、如图所示，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，P、Q分别是AB、CD上的点，且AP=CQ，求证：四边形PDQB为平行四边形。4平行四边形判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。例2、如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别是CD、AB上的点，CM=AN，E、F是AC上的点，且AE=CF.求证：四边形MENF是平行四边形。平行四边形判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F。（1）△ABE≌△DFE（2）试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状。平行四边形判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。例4、如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线A、C的三等分点，求证：四边形BFDE是平行四边形。平行四边形判定5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。例5、如图所示，AE、CF分别是平行四边形ABCD的内角BCDDAB、的平分线。求证：四边形AECF是平行四边形。5★★平行四边形判定方法的选择平行四边形的五种判定方法：①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形。这五种判定方法分别是从四边形的边、角、对角线三个方面来判定，我们应仔细观察题目中所给出的条件，仔细选择适合题目的判定方法进行解答。在这五种方法中，有一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关，这五种判定方法还与平行四边形的性质相呼应，注意区别与联系。★平行四边形判定方法选择已知条件选择的判定方法边一组对边相等方法2，方法3一组对边平行定义（方法1），方法3角一组对角相等方法5对角线方法4例6、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上且AF=CE,点G、H分别在AB、CD上且AG=CH,AC与GH相交于点O。（1）求证：EG∥FH（2）GH、EF互相平分。【拓展提高】例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为边长在其两侧各作一个正△ACP和正△ACQ,求证：四边形BPDQ是平行四边形。例2、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AF=CE.求证：四边形BEDF是平行四边形。（多种方法证明）6例3、如图所示，已知现有六边形的铁板ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，AB=10cm，BC=70cm，CD=20cm，DE=40cm，求AF和EF的长．（两种思路）例4、加倍中线构造平行四边形解题如图所示，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F且AE=FE。求证：AC=BF例5、与平行四边形相关的动点问题如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且ADBC，BC=6cm,点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后，四边形ABQP是平行四边形？【规律总结】1、证明两条线段相等的常用方法：①等角对等边；②“三线合一”的性质；③证明两线段所在三角形全等；④平行四边形对边相等或对角线互相平分。2、当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，然后利用平行四边形的性质推出线段相等、平行或角相等。例5、如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，请你自行规定E、F在边AD、BC上的位置，然后补充题设，提出结论并证明（要求至少编制两个正确命题，且补充题设不能相同）例6、如图所示，某城市部分街道示意图，其中CD垂直平分AF，AB∥CD，BC∥DF。从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，路线2是B⇒C⇒F⇒E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．7【中考对接】1、（厦门)如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，，∠EFB=60°，DC=EF．(1)求证四边形EFCD是平行四边形。(2)若BF=EF,求证：AE=AD2、(2010江苏）如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF。求证：FDEEBF【强化练习】1、（天津）如图所示，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连结DE、EF、FD,则图中平行四边形的个数为()个2、如图所示，D、E、F分别在△ABC的各边上且DE∥AF,DE=AF,延长FD至G，使FG=2DF。求证：ED与AG互相平分。-3、（四川）有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm，∠B=60°，∠A=120°,∠C=120°．你能根据测得的数据计算AD的长吗？84、如图所示，E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF。（1）求证：△ABE≌△CDF(2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN。试判断四边形MFNE的形状，并证明你的结论。