一元二次方程教学设计与反思

教学设计与反思课题：一元二次方程根与系数的关系科目：数学教学对象：九年级课时：一课时提供者：单位：一、教学内容分析一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。二、教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。三、学习者特征分析1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系四、教学策略选择与设计讨论法，小组合作学习，通过练习掌握本课重难点。五、教学重点及难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。六、教学过程教师活动学生活动设计意图问题引探解下列方程：2x2+5x+3=03x2-2x-8=0并根据问题2和以上的求解填写下表请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=。则x1+x2=+=；x1x2=·此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。探索发现问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。学生交流探讨本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。尝试发展根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数1）2x2-3x+1=0x1+x2=________x1x2=_________（2）3x2+5x=0x1+x2=________x1x2=__________（3）5x2+x-2=0x1+x2=_________x1x2=__________（4）5x2+kx-6=0x1+x2=_________x1x2=__________此试一试、巩固知识拓展创新利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式（2）倒数和。讨论：解上面问题的思路是什么师生共同归纳小结本课主要研究了什么？1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。回顾总结七、教学评价设计本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力八、板书设计一元二次方程根与系数的关系如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。九．教学反思1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。一、重视知识的连贯性，由浅入深，在旧知识上构建新知，激发学习兴趣，活跃学生的学习活动。在教学设计中，先复习一元二次方程的一般形式及求根公式，利用问题情境解方程，一方面巩固前面所说的用公式法求一元二次方程，另一方面通过求出方程的两根，引导学生探讨一元二次方程的两根和与两根之积和系数的关系。让学生自己动手，得出结论。这样做，充分发挥了学生的主动性。二、采用循序渐进的方法达到教学目标。先是解解方程①x2-5x＋6＝0，②x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．思考：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？接着是利用求根公式推导一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）两根之和与两根之积与系数的关系，做到由特殊到一般，从而得出最后的结论。最后是通过讲解例题和练习的方式让学生掌握一元二次方程根与系数的关系。教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便些.教学设计中还把根与系数关系的定理提出，深理解韦达定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及两极之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.在定理的应用中，让学生自己发现、总结应用定理时应注意的几点（方程是一般形式；方程必须有实根；方程必须是一元二次方程）总结公式结构特征（左边分别是两根的和与积，右边分别是一次项系数除以二次项系数的商的相反数和常数项除以二次项系数的商），既培养了数学语言表达能力，又培养了治学的严谨性态度，解题不能草率，要三思而行。最后以达标训练题。二、练习。数学课堂上学生在建立起概念，找到规律之后，必须做相当数量的数学练习题，才能对知识进行巩固，对知识加深理解，才能形成技能、技巧，培养思维能力。在课堂上，做练习题有利于激发学生的积极性，使数学课堂变得生动、活泼。还可以可多方面培养学生的观察、归纳、类比、直觉以及寻找论证的方法，精确地、简要地表述一系列的技能和能力。因此，在学习了伟大定理后，设计一些习题。通过练习，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，培养学生的动手能力。并且，在练习中体会解题过程中得一些问题。如验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意两个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项。这样做不仅使学生从中得到极大的乐趣，还能给学生施展才华、发展智慧的机会。