小学数学有效练习设计的理论和策略

小学数学有效练习设计的理论和策略在小学数学教学中，练习几乎贯穿于教学的全过程，练习是一种有目的、有步骤、有指导的活动，是学生的心智技能和动作技能形成的基本途径。如在旧知识的复习练习中引出新知识，在尝试练习中学习新知识，在巩固练习中巩固新旧知识，在反馈练习中检查知识的获得。有人提出，在小学数学教学中，要以“训练为主线”，这是很有道理的。但并非练习量越多越能促进正迁移，有时过量的练习会产生定势干扰，甚至会导致机械学习。例如在长方体表面积计算中，由于学生对表面积计算的练习过多，造成学生只记住长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2的计算方法，而遗忘了方法所揭示的意义，结果后继的缺面(如抽屉)的长方体总面积计算学习中，不少学生不能有效地迁移，造成计算错误。所以在练习的安排上要求有科学性，在了解一定的理论上展开练习设计。本文论述小学数学练习设计的理论和几种策略。一、练习设计相关的理论(一)小学阶段(7~12)学生的认知发展小学阶段(7至11、12岁)又称具体运算阶段，是由前运算阶段(幼儿阶段)发展而来。瑞士著名心理学家皮亚杰认为儿童的认知发展一般要经历四个阶段：感知运算阶段(0~2岁)、前运算阶段(2~7岁)、具体运算阶段(7~12岁)和形式运算阶段(12~15岁)，在前运算阶段，儿童头脑中有了事物的表象，语言发展迅速，能用词来表示头脑中的表象。认知结构中，知觉成分占优势，思维具体，而且不可逆，不善于进行逻辑转换，把长短、宽窄或粗细作为判断的依据，不能把两种空间结构协调起来观察而作出判断。思维结构中还未形成相加减或相乘除等逻辑运算机制。此外，这阶段的儿童空间观念较差，还没有角度、长度、距离等确切的“度量”的概念。认知发展到小学阶段，思维水平有了质的变化，这一阶段的儿童能借助逻辑推理进行转换，“守恒”观念的形成，是这一阶段认知的重要标志。因为这一阶段的儿童逐步理解了推理的三个基本原则，即运算中的同一性、补偿作用和可逆性。在对待长度、重量、数量、面积或容积的守恒问题是，就不象前运算阶段的儿童那样但凭知觉表象来考虑问题，而能以逻辑推理解决各种守恒问题了。(二)小学生数学学习的认知发展学生数学学习的认知发展，包括小学生数学概念的发展，这不是一个自然发展的过程，而是在教育的条件下，通过数学知识的学习，逐步形成和发展的；运算能力的发展，主要表现在运算法则的掌握和运算技能的形成两个方面；应用题解题能力的发展，由于小学生的数概念学习和数的运算学习都是以口头应用题的形式出现的，因此，小学生的解答应用题的能力，也不是孤立地学习，而是与其他知识相联系而获得的。事实上，应用题所描述的事物之间的数量关系就是一种运算关系。(三)小学生数学能力的个别差异及分类我们经常可以发现，同一班级的学生，年龄相仿，学习同一种内容，有的学生感到太难，有的学生感到太浅；有的学生理解快而深，而有的学生理解慢且浅，有的甚至还似懂非懂或根本不懂。产生上述学习上的差异的原因是多种多样的，其中有个体的生理、心理上的差异，还有社会、家庭教育等客观因素的影响，导致小学生数学能力的个别差异。儿童在数学学习活动中的能力因素，有对数学材料的观察能力、数学记忆能力、抽象概括能力、运算能力和空间观念等，不同学生对上述各种能力因素表现出不同的结合和不同的发展水平。许多材料与研究说明，能力是先天因素与后天时间结合而形成和发展的，特别是儿童时期，能力的可塑性很大，只要教育工作者为学生创造良好的学习条件，根据学生的特点采取积极有效的方法，是可以使每个学生的能力得到应有的发展的。因此，目前有许多教育工作者在组织练习时应注意根据学生实际设计形式多样的练习，打破传统那种单调的练习方式，通过有效的练习活动，使所学知识形成熟练的技能和技，就不同课型作出不同的练习设计策略。二、不同课型的练习设计策略(一)新授课的练习设计：新授课的练习设计，目的在掌握知识，一般可以根据学习的过程、学习的内容以及学习的反馈来设计练习。1按学习的过程设计练习：根据学生学习新知识的过程，需要有学习新知识前的准备性练习，获取新知识的形成性练习和巩固新知识的练习。(1)准备性练习。为了缩短新旧知识之间的距离，促使知识的迁移，在学习新知识前应根据所学的知识所必须的基础(知识和能力)，以及学生认知的特点，设计学习新知识前的准备性练习。例如，在学习“能被3整除的数的特征”时，为了排除学生根据个位上的数的特征判断一个数能不能被2、5整除的干扰，在学习前可设计如下的练习：下列哪些数能被3整除，哪些数不能被3整除：13、36、93、62、16、42、29、69，使学生看到，个位上是3、6、9的数不一定能被3整除，个位上不是3、6、9的数也不一定都不能被3整除，从而为学生建立新的认知结构作好准备。学习前的良好准备，把学生引入最佳的学习状态，再稍加点拨、诱发，便会水到渠成了。(2)形成性练习。为了促使新知识与学生认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系，在学习新知识时，应根据知识的逻辑结构和学生的认知规律，设计学习新知识的形成性练习。如：学习长方形面积计算时，根据知识的逻辑结构，应帮助学生认识面积、面积单位和长方形的面积；根据学生的认知规律，应从具体感知，经概括表象，到规则抽象。下面的练习设计可看到学生的知识是怎样在有意义的学习材料的操作和练习过程中形成的。①具体感知。如要求学生用1平方厘米的正方形测量长3厘米，宽2厘米的长方形的面积；要求学生用8个或12个1平方厘米的正方形纸片拼摆成一个长方形，说出它的长、宽和面积。②概括表象。教师口述，一个长方形，长里一排正好可以摆4个1平方厘米，宽里正好排这样的3排，这个长方形的长是多少？宽是多少？面积是多少？在以下图这样安排的平方图形，要求学生说出它们的面积各是多少(每个方格表示1平方厘米)③规则抽象。在上述学习的基础上，要求学生说出下列图形的面积，并要求学生独立测量一个长方形的面积，说出测量的方法，从而抽象概括出长方形面积计算公式。(3)巩固性练习。为了即使、有效地巩固所学的新知识，应根据知识的重点、难点、关键，以及学生掌握知识的特点，设计有针对性的练习。巩固性的练习一般先是尝试、模仿的练习，再是检验理解、掌握的练习以及新旧知识的综合练习。如在学习分数、小数乘、除法时，可以针对学习的重点、难点、关键作专项练习。①根据114×35＝3990，说出下面各题的积。11.4×3.5,1.14×3.5,11.4×0.35,1.14×0.35,0.114×35,114×0.35.②在下面的括号内填上适当的数，在○内填适当的符号。3／4÷3／5＝3／4×()2／9÷5／36＝2／9○()11／13÷22／39＝()○()2。按学习的内容设计练习：根据所学习内容的类型不同，练习设计有其不同的要求。概念学习的练习，应着眼于弄清概念的内涵和外延，掌握概念的本质属性；规则学习的练习，应着眼于理解规则，掌握操作的过程；应用题的练习应着眼于培养学生的思维方法和思维品质。(1)概念学习的练习设计。概念学习的练习，一要有利于揭示概念的内涵和外延。例如，学习三角形内角和时，不仅要使学生从具体测量一个三角形的三个内角的度数，到做三角形内角和的实验，认识概念的内涵，而且要使学生看到，不论是哪一种三角形，不论三角形的大小如何，三角形的内角和都等于180°,从概念的外延加深学生对概念本质属性的认识。为此,在练习中，要提供不同大小和不同种类的三角形，说出它们的内角和。二要有利于区分相同和不同，特殊和一般，例如，学习求三角形中一个未知内角的度数时，除了要求学生掌握一般的解法，还要学生掌握直角三角形的特殊解法。三要有利于概念的守恒。例如，在学生掌握了三角形的内角和后，组织学生讨论：把下面的三角形平均分成两个三角形，每个三角形的内角和是多少度？②说出下图左图两个三角形中每个三角形的内角和，把这两个三角形拼成右面的一个大三角形，所得的大三角形的内角和是多少度？从而使学生进一步认识到，不论怎样变化，概念的本质属性不变，达到概念的守恒。(2)规则学习的练习设计。规则学习的练习，一要有利于突出重点、难点和关键。如前所述的在学习某些规律、法则、公式时所作的专项练习。二要有利于学生从掌握详尽的思维活动过渡到简略的思维活动。三要有利于鉴别知识的异同。例如，学习乘法分配律后，为了与乘法交换律、结合律区别，可通过如下的练习进行比较：把相等的两个式子用线连起来25×4+25×825×4+825×(4×8)25×4×25×825×(4+8)25×4×8(3)应用题学习的练习设计。应用题的练习，一要有利于学生掌握正确的解题方法，培养思维的正确性。例如，在学习“玩具厂计划生产1000件玩具，已经生产了4天，每天生产210件，还要生产多少件才能完成计划？”这一类应用题时，除了模仿练习外，可以安排这样的题目：缝纫机厂的装配车间要装配500台缝纫机，已经装了8天，平均每天装配65台，缝纫机厂的装配任务完成的情况如何？使学生懂得：要判断生产认为完成的情况，就要用实际的产量与计划的产量进行比较：实际的产量-计划的产量=超产量，计划的产量-实际的产量=还要生产的数量，从而掌握这类题的思考方法。二要有利于防止解题方法模式化，防止思维的定势。例如，在掌握上述这类应用题的解答方法后，不能停留在模仿和反复训练上，要注意运用变式。3.按学习的反馈设计练习：新授课中要根据学生在学习过程中可能产生的各种问题、心理障碍，设计有针对性的练习，进行有效的调侃，以提高学习的效率。(1)对比练习。对表面形式相似的内容，学生学习时容易彼此混淆，可设计对比练习。如带分数加法与带分数乘法；长方形的周长和面积等要通过对比练习培养分化的能力。(2)辨错、改错练习。对学生认识过程中的心理障碍所产生的错误，可设计辨错、改错练习。如列方程解应用题中由于算术解法造成的一些心理障碍；解答应用题时，思维定势造成的思维呆板等，可通过辨错、改错的练习，使学生获得正确的认识。(3)强化练习。对某些特殊的知识或解题方法，以及学生不容易掌握的学习内容，应及时组织适当的强化练习。如前面所述的求直角三角形中一个未知角的度数；异分母加减法中，当分母之间有倍数关系时，学生往往会不用较大的那个分母作公分母，而作成：3/4+1/12=18/24+2/24=20/24=5/6，评讲后，使学生知道这样解答较简便：3/4+1/12=9/12+1/12=10/12=5/6，然后针对这类习题作强化练习，以达到知识的掌握。当然，我们按学习的过程、学习的内容和学习的反馈进行练习设计，在实际教学中，这三方面应作为一个整体，统一研究考虑，以求获得最佳的效果。(二)练习课的练习设计：练习课是以巩固知识，训练技能技巧，发展思维为主要任务的课，是新授课的补充和延伸。1.巩固新知识的练习课：巩固新知识的联系课是继新授课后，为巩固和加深所学的新知识而组织的课。这类课中的练习，除了要继承新授课的要求外，主要应从巩固和应用有关的概念、规则，以及提高解应用题的能力等要求来设计，同时要考虑到练习的过程，应有浅入深，有序进行。(1)巩固概念的练习，应在概念守恒的基础上着重抓好概念的应用。如在教学了长方形和正方形的认识后，为了加深对几何形体的认识，发展学生的空间观念，可以设计如下一些练习：基本练习：①根据实物或模型，找出对应的直观图；根据直观图，找出它所表示的实物或模型；②根据直观图说出长方形的长、宽、高。深化练习：把下面的图添画成长方形，并说出它的每个面的长和宽。综合练习：下面的图中，哪个可以围成一个正方形。通过观察、测量、操作、解答问题等，达到巩固概念，应用概念的目的。(2)运用规则的练习，应在掌握规则的基础上着重抓好运用规则的训练。如在学习分数四则混合运算后，可以根据某些运算技巧的要求，在基本练习后，设计如下练习：①比较下面两种算法，哪一种计算简便：5/12+3/4×2/35/12+3/4×2/3=5/12+1/2=5/12+6/12=11/12=11/12②计算下面各题：(5/12+3/4)×5/12÷5-2/15从而使学生能根据具体情况，合理、灵活的进行运算。(3)解答应用