安徽工业大学研究生随机过程试卷

随机过程测试题二答案1111．以1T表示泊松过程}0),({≥ttN中事件首次发生的时刻，则对于ts≤，求条件概率}1)(|{1=≤tNsTP解：==≤}1)(|{1tNsTPts.（细节请查书）（5分）2222．设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，N(t)表示到时刻t为止事件A发生的次数，则对任意ts≤0，求),(),(tDNtEN)).(),(cov(sNtN解：ttDNtENλ==)()(；（5分）.))(),(cov())(),(-)(cov())(),(cov(ssNsNsNsNtNsNtNλ=+=（5分）3333．设某公交车站从早晨5时至晚上21时有车发出．从5时至8时乘客的平均到达率呈现性增加，5时乘客的平均到达率为200人/小时，8时乘客的平均到达率为1400人/小时；8时至18时乘客的平均到达率不变；18时至21时乘客的平均到达率线性减少，到21时为200人/小时．假定在不相重叠的时间间隔内到达车站的乘客数相互独立．求（1）12时至14时恰有2000名乘客到车站的概率；（2）这两小时内到车站的乘客平均数．解：以N(t)表示0时到t时到达的乘客数，则211818885),18(4001400,1400),5(400200)(≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧−−−+=ttttttλ,（1）).21400(~)12()14(×−PNN==−}2000)12()14({NNP!2000280020002800⋅−e；（5分）（2）2800)]12()14([=−NNE．（5分）4444．假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星.试求（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率.（2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数.解：（1）设早晨8时为0时刻，以N(t)表示0时到t时观测到的流星数，则N(t)是强度为3（颗/小时）的泊松过程．).43(~)0()4(×−PNN==−}0)0()4({NNP12−e；（5分）（2）记下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间为1T，则其密度函数为.0,3)(3≥=−tetft相应的分布函数为⎩⎨⎧≥−=−0,00,1)(3ttetFt．（5分）5555．保险公司接到的索赔次数是一个泊松过程{N(t)，t≥0},每次的赔付金额{Yn}是一族独立随机变量序列，且有相同分布F，索赔数额与它发生的时刻无关．则在(0,t]时间内保险公司赔付的总金额可表示为∑∑∑∑====))))((((1111ttttNNNNiiiiiiiiYYYY（5分）；若保险公司以平均每月两次的速率接到索赔要求,每次赔付为均值是2000元的正态分布,则它的年平均赔付金额为48000元（5分）.解：2000元×2×12=48000元6666．设到某电影院的观众服从强度为λ的泊松流，如果电影在时刻t开演，求在(0,t]时间内到达电影院的观众等待开演的时间总和的均值.解：假设以强度为λ的泊松过程{N(t)，t≥0}来到某电影院，火车在时刻t启程．计算在(0,t]时间内到达的乘客的等待时间的总和的期望值.解1：以Tn记第n位观众的来到时刻，则所求为∑=−)(1)(tNiiTtE.22])(|[])(|)([)(1)(1ntntntntNTEntntNTtEtNiitNii=−==−==−∑∑==（5分）∑∑∑+∞=====−=−0)(1)(1})({])(|)([)(ntNiitNiintNPntNTtETtE.2)!1()(2!)(221120tenttentntntnntnλλλλλλ=−==∑∑+∞=−−+∞=−（5分）7777．某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客到达商场的人数分别独立地服从每分钟1人与每分钟2人的泊松过程。(1)试计算],0(t时间内到达商场顾客的总人数服从的分布；(2)在已知t时刻已有50人到达的前提下，问其中有20位男性顾客的概率有多大，平均有多少位男性顾客？解：(1)分别以)(1tN,)(2tN记],0(t时间内到达商场的男女顾客人数，则}0),({1≥ttN与}0),({2≥ttN分别是速率2,121==λλ(单位：均为人/分钟)的泊松过程．从而在],0(t时间内到达商场的顾客总人数为)()()(21tNtNtN+=,它服从参数为321=+λλ的泊松分布.(2)首先在已知t时刻已有n人到达的前提下，其中有k位男性顾客的概率为{}ntNktNP==)(|)(1{}{}{}{}ntNPkntNktNPntNPntNktNP=−=======)()(,)()()(,)(211knktntkntkknentekntekt−+−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−=212211)(21212121!])[()!()(!)(λλλλλλλλλλλλλλ，nk,,1,0⋯=.故在已知t时刻已有50人到达的前提下，其中有20位男性顾客的概率为302032312050⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛.平均有35050211=+×λλλ位男性顾客.8888．将两个红球四个白球分别放入甲、乙两个盒子里.每次从两个盒子中各取一球交换，以Xn表示第n次交换后甲盒中的红球数，则{Xn,n=0,1,2，…}是状态空间为I={0,1,2}的时齐马尔可夫链.（1）写出其一步转移概率矩阵.（2）求其平稳分布.解：（1）一步转移概率矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=01081218302121P；（5分）（2）由平稳方程组),,(),,(210210ππππππ=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛01081218302121及规范性条件1210=++πππ，得)151,158,52(),,(210=πππ.（5分）9.9.9.9.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关.又设今天下雨时明天也下雨的概率为0.7，今天无雨时明天有雨的概率为0.4.记有雨天气为状态0，无雨天气为状态1,求今天有雨的条件下，这之后第四天仍有雨的概率.解：以Xn记第n天的天气状态，则{Xn，n=0,1,2,…}为时齐马尔可夫链.其状态空间为I={0,1}.一步转移概率矩阵为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=6.04.03.07.0P（5分）四步转移概率矩阵为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4332.05668.04251.05749.0)4(P所求概率为5749.0)4(00=p.（5分）10．在赌徒输光问题中，假定甲有赌资5元，乙有赌资10元，赌一局输者给赢者1元，无和局.设甲输赢的概率均为1/2，试求甲输光的概率.解：设iu表示甲从状态i出发转移到状态0的概率，则所求为5u.易见01150==uu，且14,,2,1,212111⋯=+=−+iuuuiii.14,,2,1,11⋯=−=−−+iuuuuiiii))(1()()()(01011101uuiuuuuuuuuiiiii−+=−++−+−=−−++⋯))(1(1))(1(010101uuiuuiuui−++=−++=+由0)(1510115=−+=uuu得15101−=−uu.1510155115,,2,1151)(1501=−==−=−+=uiiuuiui⋯，11．（选做）我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（其中1表示畅销，2表示滞销）1,1,2,1,2,2,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,1,1如果该商品销售情况近似满足时齐性与马尔可夫性.（1）试确定销售状态的一步转移概率矩阵.（2）如果现在是畅销，是预测这之后第四个季度的销售状况.（3）如果影响销售的所有因素不变，试预测长期的销售状况.解：以nnnnXXXX表示第n季度该种商品在国外的销售情况，则},2,1,{⋯=nXn是一状态空间为{1,2}的时齐马链.(1)由1→1：7次；1→2：7次，得,211471211===pp由2→1：7次；2→2：2次，得92,972221==pp一步转移概率矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=9297212122211211ppppP(2)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛==395.0605.0389.0611.0162711629136133623162711629136133623224PPP389.0611.0)4(12)4(11==pp即如果现在是畅销，这之后第四个季度该种商品将以概率0.611畅销.（3）由平稳方程P),(),(2121ππππ=及规范性条件121=+ππ得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=19221972121212211ππππππππ解得)239,2314(),(21=ππ即长期下去，该种商品将在国外以概率=23140.609畅销.