4-最小最大堆解析

高级数据结构——最小最大堆Min-MaxHeap双端优先队列与最小最大堆双端优先队列是一种支持下列操作的数据结构：（1）插入一个具有任意key值的元素（2）删除key值最大的元素（3）删除key值最小的元素当只需要支持两个删除操作之一时采用最小堆或最大堆支持以上全部操作最小最大堆定义：最小最大堆是一棵完全二叉树，且其中每个元素有一个key数据成员。树的各层交替为最小层和最大层。根结点在最小层。设x是最小最大堆的任意结点。若x在最小（最大）层上，则x中的元素的key值在以x为根的子树的所有元素中是最小（最大）的。位于最小（最大）层的结点称为最小（最大）结点。Min-MaxHeap23583960214230186520157512minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel依序插入10和8023583960214230186520157512minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel1.2.3.23583960214230186520157512minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel1023583960214230186520107512minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel1523583960214230186520127510minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel154.5.新節點80位於maxlevel且大於其父節點12，故不交換。6.23583960214230186520127510minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel158023583960214230186520128010minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel1575templateclassTypevoidMinMaxHeapType::Insert(constElementType&x){if(n==MaxSize){MinMaxFull();return;}n++;intp=n/2;//p是新结点的双亲if(!p){h[1]=x;return;}//插入初始时为空的堆switch(level(p)){caseMIN:if(x.keyh[p].key){//沿着最小层检查h[n]=h[p];VerifyMin(p,x);}elseVerifyMax(n,x);//沿着最大层检查break;caseMAX:if(x.keyh[p].key){//沿着最大层检查h[n]=h[p];VerifyMax(p,x);}elseVerifyMin(n,x);//沿着最小层检查}//switch结束}//Insert结束函数level确定一个结点是位于最小最大堆的最小层，还是位于最大层当log2(j+1)为偶数时，结点j位于最大层，否则位于最小层templateclassTypevoidMinMaxHeapType::VerifyMax(inti,constElementKeyType&x){//沿着从最大结点i//到根结点的路径检查最大结点，将x插入正确位置for(intgp=i/4;gp&&(x.keyh[gp].key);gp/=4){//gp是i的祖父h[i]=h[gp];//将h[gp]移到h[i]i=gp;}h[i]=x;//将x插入结点i}函数VerifyMax从最大结点i开始，沿着从结点i到最小最大堆的根的路径检查最大结点，查找插入元素x的正确结点。在查找过程中，key值小于x.key的元素被移到下一个最大层函数VerifyMin与VerifyMax类似，所不同的是，前者从最小结点i开始，沿着从结点i到根的路径检查最小结点，将元素x插入正确位置。分析：由于n个元素的最小最大堆有O(logn)层，成员函数Insert的时间复杂性是O(logn)。Min-MaxHeap中刪除最小结点23583960214230186520128010minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel15751.2.3.23583960214230186520128075minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel1523583960214230186520758012minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel1523583960214230186520158012minlevelmaxlevelminlevelmaxlevel75Min-maxheap假設已存在一棵min-maxheap如下：4050191310153228343118545minmaxminmax刪除45Min-maxheap(con.t)40501913101532283431185minmaxminmax刪除40則需以最後一個節點的鍵值18取代40Min-maxheap(con.t)minmaxminmax185019131015322834315交換後1819，不符合第一項定義，將18與19交換Min-maxheap(con.t)minmaxminmax195018131015322834315交換後，由於19小於32、28、34、31，不符合第三項定義，將19與最大的鍵值34交換Min-maxheap(con.t)minmaxminmax345018131015322819315一般而言，将元素x插入根结点为空的最小最大堆h中有两种情况需要考虑：（1）根结点无子女，这时可将x插入根结点中。（2）根结点至少有一个子女。这时堆中的最小元素（不算元素x）位于根结点的子女结点或孙子女结点（最多6个）之一。假设该结点的编号为k，则还需要考虑下列可能性：(a)x.key≤h[k].key。由于h中不存在比x更小的元素，所以x可插入根。(b)x.keyh[k].key且k是根的子女。由于k是最大结点，其后代的key值都不大于h[k].key，因而也不大于x.key。所以可将元素h[k]移到根，并将元素x插入结点k。(c)x.keyh[k].key且k是根的孙子女。这时也可将元素h[k]移到根。设p是k的双亲。若x.keyh[p].key，则将x和h[p]交换。这时，问题转化为将x插入以k为根的子堆中，且h[k]已腾空。这与初始插入根结点为空的最小最大堆h的情形类似。通过以上讨论，可得成员函数DeleteMin。templateclassTypeElementType*MinMaxHeapType::DeleteMin(ElementType&y){//从最小最大堆中删除并返回最小元素if(!n){MinMaxEmpty();return0;}y=h[1];//保存根元素ElementTypex=h[n--];inti=1,j=n/2;//为重新插入x作初始化//寻找插入x的位置while(i=j){//i有子女，情况(2)intk=MinChildGrandChild(i);if(x.key=h[k].key)break;//情况2(a)，可将x插入h[i]else{//情况2(b)或(c)h[i]=h[k];if(k=2*i+1){//k是i的子女，情况2(b)i=k;//可将x插入h[k]break;}else{//k是i的孙子女，情况2(c)intp=k/2;//p是k的双亲if(x.keyh[p].key){ElementTypet=h[p];h[p]=x;x=t;}}//if(k=2*i+1)结束i=k;}//if(x.key=h[k].key)结束}//while结束h[i]=x;//注意，即使现在n==0，对h[1]赋值也没//错，这样简化边界判断return&y;}其中又用到私有成员函数MinChildGrandChild(i)，该函数返回结点i的子女结点或孙子女结点中含最小元素的结点。如果i的子女结点或孙子女结点都含最小元素，则MinChildGrandChild返回子女结点，这样可以避免DeleteMin中while循环的进一步迭代。分析：while循环的每次迭代需O(1)时间，且每经过一次迭代（可能除了最后一次以外），i都下移两层。由于n个元素的最小最大堆有O(logn)层，DeleteMin的时间复杂性是O(logn)。删除最大元素的过程与删除最小元素类似。