§1.4.2正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性

§1.4正弦余弦函数的性质（1）定义域（2）值域（6）单调性及最值（4）奇偶性（3）周期性（5）对称性正弦函数y＝sinx，x∈[0,2]的图象中，五个关键点是哪几个?余弦函数y＝cosx，x∈[0,2]的图象中，五个关键点是哪几个?)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0()1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(复习回顾yxo1-122322(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)五点法——轴的交点点，与关键点：最高点、最低xy=cosxy=sinxx6yo--12345-2-3-41x6yo--12345-2-3-41仔细观察正弦、余弦函数的图象，并思考以下几个问题：（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？（2）正弦、余弦函数的值域是什么？正弦曲线余弦曲线R[-1，1]（1）正弦、余弦函数的定义域都是R。（2）正弦、余弦函数的值域都是[-1，1]。因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以即称为正弦、余弦函数的有界性。1cos,1sinxx1cos11sin1xxx6yo--12345-2-3-41x6yo--12345-2-3-41仔细观察正弦、余弦函数的图象，并思考以下几个问题：（3）正弦、余弦函数的奇偶性？正弦曲线余弦曲线正弦、余弦函数的奇偶性、单调性y=sinxyxo--1234-2-31223252722325y=sinx(xR)图像关于原点对称（3）正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数y=sinx最值xyo--1234-2-31223252722325余弦函数y=cosx的最值yxo--1234-2-31223252722325（4）正弦、余弦函数的最值1,2maxyZkkx时，1,22minyZkkx时，1,2minyZkkx时，1,22maxyZkkx时，正弦函数的对称性xyo--1234-2-31223252722325)0,k对称中心（2kx对称轴：余弦函数的对称性yxo--1234-2-31223252722325)0,2k对称中心（kx对称轴：（5）正弦、余弦函数的对称性诱导公式sin(x+2π)=sinx,的几何意义．xyoXX+2πXX+2π正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规律性？1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x的值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。正弦函数和余弦函数的最小正周期都是2π.概念:1.,()()().sin()sin,424fxTfxTyfxxx例定义是对定义域中的值来说的只有注意:每一个个别的满足不能说值:是的周期如2sin()sin,sin.22xxxyx就是说不能对在定义域内的每一个值使因此不是的周期sin()sin.323但是3.(1)(,)(2)()1.()()0.()fxCxDxCxxR并不是所有的函数都有最小正周期,例如常值函数为常数周期当为有理数时，周期为任一有理数。为任一实数它们都没有最当为无理数时小正周期.2思考：一个周期函数的周期有多少个？XX+2πyx024-2y=sinx(x∈R)自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的oyx4π8πxoy6π12π三角函数的周期性:3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数)例求下列函数的周期：(1)y=3cosx,x∈R;1(3)2sin(),26yxxR(2)y=sin2x,x∈R;cos(2)cos,xx解(1)cosx是以2π为周期的周期函数.3cos,yxxR的周期为23cos(2)3cos,xxsin(2)sin(22)xxsin(2)sin2()xxsin2yx的周期为π.(3)112sin()2sin(2)2626xx12sin()26yx的周期为４π112sin()2sin(4)2626xx例求下列函数的周期：1(3)2sin(),26yxxR(2)f(x)=sin2x,x∈R;(1)y=3cosx,x∈R;解(2))()(xfxf即：.2:)0,0,,,(),cos(),sin(TAARxxAyRxxAy，的周期为且数为常其中数及函函数一般地归纳总结练习.求下列函数的周期：(1)sin3,;(2)cos;3(3)3sin,;(4)sin();410(5)cos(2),;31(6)3sin(),.24xyxxRyxyxRyxyxxRyxxR32T6T8T2TT4T函数性质y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定义域值域最值及相应的x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴x∈Rx∈R[-1,1][-1,1]x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1周期为T=2π周期为T=2π奇函数偶函数(kπ,0)x=kπx=2kπ+时ymax=1x=2kπ-时ymin=-1π2π2(kπ+,0)π2x=kπ+π2