补充-张量分析

第三节张量分析第一节指标符号第二节张量的定义和代数运算符号推导过程中，概念要清楚初步参考教材：弹性力学，陈国荣编著，河海大学出版社抽象的意义---突破人想象力的局限1、代数学：代数X既不是1、2、3，又可以是1是2是32、微分方程：同一方程既可以描述热传导，也可以描述化学扩散3、抽象空间：哈密顿空间、系综相空间4、指标符号系统：矢量与张量自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程）坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长引入张量方法§A－1指标符号),,(n21ixi下标符号i称为指标，n为维数指标i可以是下标，如xi也可以是上标，如xinxxx,,21记作指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3通过指标轮换，用1项表示很多项，简洁！采用指标表示的符号系统称为指标符号，一般采用下标xi（i=1,2,3）～x1，x2，x3～x,y,zui（i=1,2,3）～u1，u2，u3～u,v,wzzyzxyzyyxxzxyx333231232221131211ij321ji),,,(～～一．若干约定哑标和自由标1.Einstein求和约定凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标或哑标。如：n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa),,(又如：zyx332211jjii重复不止一次的指标，求和约定失败求和约定仅对字母指标有效，如同一项内二对哑标应使用不同指标，如3131ijjiijjiijxxaxxaz331234哑标可以换用不同的字母指标2.求导记号的缩写约定jijijjxuux,,)()(22,,()()ijkijijijuuxxxxk二维问题平衡微分方程的指标表示3.自由指标定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如jijibxaj为自由指标j=11313212111bxaxaxaj=11313212111bxaxaxaj=12323222121bxaxaxaj=23333232131bxaxaxaj=3j=11313212111bxaxaxaj=1同一个方程中各项的自由指标必须相同不能单独改变某一项的自由指标，但可以同时改变所有项的自由指标12kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：二．克罗内克（Kronecker-δ）符号定义：jijiij当当01由定义1ijijI333231232221131211100010001特殊的指标符号jiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA当克罗内克符与其它项连乘时，可作指标替换性质：ijjijiilkljkijikjkijikjkijjjiiijijiiijijxxxAAAAAAAA,3322113322113三．Ricci符号kjie定义：共27个分量，亦称为排列符号或置换符号有两个或三个相同时当的奇次置换，，形成当的偶次置换，，形成当kjikjikjieijk,,0321,,1-321,,1即：011113112111321132213312231123eeeeeeeee特殊的指标符号kijijkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA321321322311332112312213kjikjikjikjiaaaeaaaeaaaaaaaaa矩阵的行列式可表示为:§A－2张量的定义和代数运算ia分量矢量a标方向的单位矢量）(个坐基矢量3eee32133221iiaaaaeeeea1说明任意矢量可以表示为基矢量的线性组合12基矢量不是唯一的1.矢量的基本运算(1)点积基矢量点积)22(Aδijjiee任意两矢量的点积3)2(Ababaδbabajjiiijjijijieeba12投影1(2)叉积基矢量的叉积ekjikjieee由于kjkieeeekjkiδδktt321jieeeeeeeekjitjisjritsrjjjiiieeδδeδδδδδδ321321特别地：33k21eeeee12312eekkjikjiaaaeaaaaaaaaaA321333231232221131211（比较：）两个任意矢量的叉积cbaeebababakjikjikjijijijiceeeeeeebakkkjiji2jiijkkbaec(3)混合积基矢量混合积)(kjikrrjirjieδeekrkjieeeee故也有定义)()(kjikjieeeeeekjie1置换符号就是基矢量的混合积矢量混合积表示的是以为边长的平行六面体的体积。cb,a,2(4)并矢（并乘）定义：jijieeeeabjijibaba展开共9项，可视为并矢的基ijeejiba为并矢的分解系数或分量'2x2x'1x1x2x1x'1x'2x2e'1e2.平面笛卡儿坐标系的旋转变换1e'e2'2x2x'1x1x2x1x'1x'2x)2,1,()(jicosαjijie,e令：cossinsincosαji)cos()cos()cos()cos(22122111e,ee,ee,ee,e则：'1e2e'e21ecossinsincosαji互为逆矩阵互为转置矩阵)(21212212211121xxxxxxji于是：21212212211121xxxxxxTji同样：21121xxxxji）式得由（1:jiTji比较]['ji为正交矩阵引用指标符号：jjiixx''jjiixx由kkjijjjiixxx''''又ikkjijkikixx''互为逆矩阵说明1jijieeeejiji2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律jjiijjiivvvv基矢量具有与坐标分量相同的变换规律3.三维情况(三维坐标系旋转)jiijjijieeee考虑一位置矢量ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxx)(cosije,ejjiixx同理jjiixx同二维问题，可得ikkjji（正交性）可试证：kikjji4.张量定义定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量lkjillkkjjiiijklijklkkjjiilkji自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）()ijklijklφeeee可写成上式的量也称为张量（第二种定义）基矢量的坐标变换符合前述要求标量：零阶张量矢量：一阶张量张量：二阶张量讨论''ijklTT''ijklTeeee12上述表达式具有不变性特征；张量分量与坐标系有关；ijT3在坐标变换时遵循相同的变换规律ijT自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程）坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长引入张量方法1.张量的数乘张量代数jiijjiijSTeeSeeTijijST则，若ST2.张量的加法jiijjiijSTeeSeeTijijSTijBSTB3.矢量与二阶张量的点积ijiTaijiTeeae12左点乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右点乘:kiikjieeeeeeaTkiijjikjkjiTaaTδaTa)()(Tkji时相等只有一般jiijTT,aTTa点乘得到的新张量比原张量低一阶张量代数1左点乘：3.矢量与二阶张量的点积张量代数点积相当于指标缩并，导致张量阶数降低jijiaTbaTb二阶张量相当于一个线性变换，或空间转移张量代数4.矢量与二阶张量的叉积ijiTaijiTeeaeAeeeeeTakrkjiijrjkijkieTaTaBeeeeeaTrjikjkirijkijkeaTaT1左叉乘：叉乘得到的新张量与原张量同阶2右叉乘:张量代数4.两个张量的点积srjieeBeeArsijBA,sisisrjieeeeeeeeBAjsijjrrsijrsijBABABA两个二阶张量点积得到一个新二阶张量，相当于矩阵相乘两个任意阶张量点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减2张量代数5.两个张量的双点积srjieeBeeArsijBA,ijijjsirrsijrsijBABABAsrjieeeeBA::两个任意阶张量双点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减4tititsrkjieeeeeeeeeeBAjktijkksjrrstijkrstijkBABABA::张量代数6.张量的缩并jieeAijA张量缩并后得到一个新张量，阶数较原张量低二阶AeeAjitrAAAiiijijij二阶张量的“迹”，就是在其并矢的两个矢量间取点积张量代数7.张量的转置jiijjiijSTeeSeeTTSTSST记互为转置与则称若jiijTTTTABBABA则为二阶张量，与若为对称张量若TTTT为反对称张量若TTT-T对于对称张量，一定可以找到三个互相正交的主方向应力张量与应变张量均为对称的二阶张量张量代数7.张量的转置之和和反对称张量均可分解为对称张量任一二阶张量ΩNTTTTT21ΩTT21NΩNTDPN和偏张量又可分解为球张量对称张量IPDPNkkN31几种常用的二阶张量1.单位张量jiijeeI2.置换张量kjiijkeeeee以置换符号为分量的三阶张量3.逆张量ITT1并非所有张量都可逆，有逆存在的张量称为可逆张量-1-1-1ABBABA则为可逆张量，与若几种常用的二阶张量4.正交张量IRRRRTT1RRTbRaRbaabbaaRb且可以证明则为矢量和其中若,,正交张量对应的线性变换保持矢量长度和内积不变正交张量对应的线性变换代表一个转动IRRRRTT1RRT§A－3张量分析梯度标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向。对单变量实值函数，梯度只是导数，如应变。图中标量场是黑白的，黑色代表大的数值，蓝色箭头代表梯度方向。散度、旋度散度是将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上，描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点。旋度表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度，这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。力学中：几何方程与位移场的梯度有关转动量与位移场的旋度有关平衡方