【创新设计】2016高考数学一轮复习 2-8 函数与方程课件 新人教A版必修1

最新考纲1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．第8讲函数与方程1．函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有_____．知识梳理f(x)＝0零点x轴(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②___________；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)＜0f(a)·f(b)＜0一分为二零点(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()诊断自测×√××2．(2014·北京卷)已知函数f(x)＝6x－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)解析由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝64－log24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点，故选C.答案C3．(2014·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是()x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892A.(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)解析记h(x)＝f(x)－g(x)，依题意，注意到h(0)＜0，h(1)＞0，因此函数h(x)的零点属于(0，1)，即方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是(0，1)，故选B.答案B4．(人教A必修1P92A1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案A5．(2014·福建卷)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x＞0的零点个数是________．解析当x≤0时，由x2－2＝0得x＝－2(正根舍去)；当x＞0时，f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，综上可知f(x)的零点个数为2.答案2考点一函数零点的判断与求解【例1】(1)(2014·唐山一模)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)(2)(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}解析(1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确；同理可验证B，D不正确，对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0.故f(x)的零点位于区间(1，2)．(2)当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x.令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，得x3＝－2－7，x4＝－2＋7＞0(舍)，∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－7，1，3}，故选D.答案(1)C(2)D规律方法(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)＝g(x)的根．【训练1】(2015·莱芜一模)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2，0C.12D．0解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.答案D(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.考点二根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．解(1)法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．图1图2法二作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)的大致图象如图1.可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即y＝g(x)与y＝f(x)的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)与f(x)＝－x2＋2ex＋m－1的大致图象如图2.∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，y＝g(x)与y＝f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．规律方法函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【训练2】(1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)(2)(2014·太原模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，x＜2，3x－1，x≥2，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(0，3)C．(0，2)D．(0，1)解析(1)因为函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0.所以0＜a＜3.(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D.答案(1)C(2)D考点三与二次函数有关的零点问题【例3】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9a－892＋89＞0恒成立，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解得x＝－25或x＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a的取值范围是－∞，－15∪(1，＋∞)．规律方法解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练3】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．解法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则(x1－1)(x2－1)＜0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0，即a2＋a－2＜0，∴－2＜a＜1.法二函数图象大致如图，则有f(1)＜0，即1＋(a2－1)＋a－2＜0，∴－2＜a＜1.故实数a的取值范围是(－2，1)．[思想方法]1．判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．[易错防范]1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．