高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题第1页共14页高一数学竞赛试题及答案时间：2016/3/18注意：本试卷均为解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.1.（本小题满分15分）设集合222320,2150,AxxxBxxaxaaR，（1）若2AB求a的值；（2）若ABA,求a的取值范围；（3）若,UURACBA,求a的取值范围.2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{xxffxNxxfxM（1）求证：;NM（2）)(xf为单调函数时，是否有NM？请说明理由.高一数学竞赛试题第2页共14页3．（本小题满分15分）已知函数444)cos(sin)cos(sin2)(xxmxxxf在]2,0[x有最大值5，求实数m的值．高一数学竞赛试题第3页共14页4．（本小题满分15分）已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．高一数学竞赛试题第4页共14页5．（本小题满分15分）已知二次函数)0,,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x.（1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0xx，求证：10x；（2）如果21x，212xx，求b的取值范围.高一数学竞赛试题第5页共14页6．（本小题满分15分）如图，直三棱柱111CBAABC中，121AABCAC，D是棱1AA的中点，BDDC1。（1）证明：BCDC1；（2）求二面角11CBDA的大小。ABCD1A1B1C高一数学竞赛试题第6页共14页7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．高一数学竞赛试题第7页共14页8．（本小题满分20分）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，21]都有).()()(2121xfxfxxf且f（1）=a＞0．（Ⅰ）);41(),21(ff求（Ⅱ）证明)(xf是周期函数；（Ⅲ）记),212(nnfan求).(lnlimnna高一数学竞赛试题第8页共14页9．（本小题满分20分）设)(xf是R上的奇函数，且当0x时，)10lg()(2axxxf，Ra.（1）若5lg)1(f，求)(xf的解析式；（2）若0a，不等式0)14()2(kfkfxx恒成立，求实数k的取值范围；（3）若)(xf的值域为R，求a的取值范围.高一数学竞赛试题第9页共14页高一数学竞赛试题参考答案1、解：2,1A（1）∵2AB∴B2即，0)5(2)12222aa（，解得13aa或①当3a时，2044|2xxxB②当1a时，2,204|2xxB综上3,1a（2）∵ABA∴AB①当B时，则该一元二次方程无解，即△0，∴0)5(41222aa，即3a②当B时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即3a1.当3a时，2B2.当3a时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2∴)1(221a，即25a5212a，即7a（舍）,∴综上3,a（3）∵,UURACBA∴BA①当△0时，即3a，B，满足要求②当△=0时，即3a，2B，BA，舍③当△0时，即3a，所以只需BB21且将1代入方程中得31a;将2代入方程中得13aa或所以3113aaa和、综上，a的取值范围为,3131,11,3131,33，高一数学竞赛试题第10页共14页2、3、解：422222)cos(sincossin4)cos(sin2)(xxmxxxxxf42)cos(sin)cossin2(2xxmxx令]2,1[)4sin(2cossinxxxt，则1cossin22txx，从而12)1()1(2)(24422ttmmttxf令]2,1[2tu，由题意知12)1()(2uumug在]2,1[u有最大值5.当01m时，12)(uug在2u时有最大值5，故1m符合条件；当01m时，5122)2()(maxgug，矛盾！当01m时，512)(uug，矛盾！综上所述，所求的实数1m．4、解(1)若y＝f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(2－(x＋2))＝f(2＋(x＋2))＝f(4＋x)＝f(x)，∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，证明：（1）若M，显然有;MN若M，则存在0xM，满足00fxx，所以000ffxfxx，故0xN，所以;MN（2）.MN用反证法证明假设MN，由于MN，必存在1,xN但1xM，因此11fxx，①若11fxx，由于fx为单调增函数，所以11ffxfx，即11xfx，矛盾；②若11fxx，由于fx为单调增函数，所以11ffxfx，即11xfx，矛盾。综合①、②可知11fxx，因此1,xM与假设矛盾，所以假设不能成立，即.MN高一数学竞赛试题第11页共14页只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函数．若y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，这些f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函数．综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f(x)＝f[2＋(x－2)]＝f[2－(x－2)]＝f(4－x)，f(x)＝f[7＋(x－7)]＝f(7－(x－7))＝f(14－x)，∴f(14－x)＝f(4－x)，即f[10＋(x－4)]＝f(4－x)∴f(x＋10)＝f(x)，即函数f(x)的周期为10.又∵f(1)＝f(3)＝0，∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)，f(3)＝f(3＋10n)＝0(n∈Z)，即x＝1＋10n和x＝3＋10n(n∈Z)均是方程f(x)＝0的根．由－2011≤1＋10n≤2011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；由－2011≤3＋10n≤2011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402个；所以方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根共有805个．5、解：设1)1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x.（1）由0a及4221xx，可得0)4(0)2(gg，即034160124baba，即,043224,043233aabaab两式相加得12ab，所以，10x;（2）由aabxx4)1()(2221,可得1)1(122ba.又0121axx，所以21,xx同号.∴21x，212xx等价于1)1(1220221baxx或1)1(1202212baxx,即1)1(120)0(0)2(2bagg或1)1(120)0(0)2(2bagg高一数学竞赛试题第12页共14页解之得41b或47b.6、【解析】（1）在RtDAC中，ADAC得：45ADC同理：1114590ADCCDC得：111,DCDCDCBDDC面1BCDDCBC（2）11,DCBCCCBCBC面11ACCABCAC取11AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,COCH1111111ACBCCOAB，面111ABC面1ABD1CO面1ABD1OHBDCHBD得：点H与点D重合且1CDO是二面角11CBDA的平面角设ACa，则122aCO，1112230CDaCOCDO既二面角11CBDA的大小为307、【解答】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，解得x0＝0，y0＝1或x0＝－2，y0＝1，经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此，圆C过定点．高一数学竞赛试题第13页共14页高一数学竞赛试题第14页共14页9、解：（1）6,5lg)11lg()(,5lg)1(aaxff所以则因为所以故又时，当,0)0(),106lg()()(02fxxxfxfx0),106lg(0,00),106lg()(22xxxxxxxxf(2)0)14()2()(0kfkfRxfaxx上单调递增，故在，则若等价于恒成立，在于是，另),0(01),0(201422kkttttkkxxx1)(2kktttg设（1）0时，解得：222222k；（2）时0，0)0(02gk，解的0k综上，222k（3）设10)(2axxxh,由题意知，若函数)(xf的值域为R，只需1026,1)(00minaxhx解得：时，