概率论与数理统计总复习知识点归纳

概率论与数理统计总复习第一章事件的概率2.概率的定义：3.概率的性质：;)(1)(APAP①②),()()()(ABPBPAPBAP()()(/).PABPAPBA③,)/()()(1niiiABPAPBP)()/()()/(BPABPAPBAPiii4.两个概念(对立)：①非负性；②规范性；③可列可加性。A与B独立←→P(AB)=P(A)P(B)A与B互不相容→P(AB)=0,P(A∪B)=P(A)+P(B)←→AB=φ1.古典概率—乘法原理、排列组合；几何概率—均匀分布→P(A)≠0时,P(B/A)=P(B)5.两个公式11()1();nniiiiPAPAP(Ai/B)后验概率A1A2........AnBP(Ai)——先验概率P(B/Ai)例1设甲、乙、丙三人的命中率分别为0.3，0.2，0.1。现三人独立地向目标各射击一次，结果有两次命中目标，试求丙没有命中目标的概率。记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，D为目标被命中两次.解)()(BCACBACABPDP)()()(BCAPCBAPCABP1.02.07.01.08.03.09.02.03.0=0.092)()()/(DPDCPDCP587.0092.09.02.03.0法一用条件概率直接求解。P(B)()()PABCPD法二用Bayes公式：CCD0.10.90.3*0.20.3*0.8+0.7*0.2P(C)=0.1,;9.0)(CPP(D/C)=0.3*0.8+0.7*0.2,.2.0*3.0)/(CDP于是有)/()()/()()/()()/(CDPCPCDPCPCDPCPDCP2.0*3.0*9.0)2.0*7.08.0*3.0(*1.02.0*3.0*9.0.587.0例2填空(可作图帮助分析)(1)设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则=______)(ABP4.03.07.0)(,3.0)()()(ABPABPAPBAP5.03.05.03.0)(BAP(2)若A与B独立，且A与B互不相容，则min{P(A)，P(B)}=____。()()()()PABPAPBP00.6(3)已知P(A)=0.3，P(B)=0.5。则当A与B相互独立时，有P(A∪B)=_____；当A与B不相容时，有P(B-A)=____；当P(A/B)=0.4时，有._____)(BAP0.650.52.04.05.0)/()()(BAPBPABP0.46.02.05.03.0)()()()(ABPBPAPBAP4.0)(1)()(BAPBAPBAP第二、三章随机变量及其分布1.常用分布B(n,p)，P()，U[a,b]，E()，N(,2)；2.联合分布和边缘分布,()(,)iijXjppfxfxydy4.随机变量函数的分布②公式法：()(,)XYfzfxzxdx)()(zFzfZZ①分布函数法(C.R.V.)：})({)(zXgPzFZ（注意分段）独立时，Min(X1,X2,…,Xn)和Max(X1,X2,…,Xn)的分布。}),({)(zYXgPzFZ)()(zFzfZZ3.概率的计算(一维或二维C.R.V.：一重或二重积分)作图、定限再计算、验证独立时()()XYfxfzxdx(,)(,)gxyzGfxydxdy二维均匀、二维正态5随机变量的独立性•正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性)若Xi~N(i，i2),i=1,2,...n,相互独立，则对任何实数a1,a2,…,an,有1~(?,?)niiiaXN1~(?,?),aXbN1,ab221a1,niiia221niiia例3已知X~f(x)，求Y=-X2的概率密度。解用分布函数法。y0时，)()(yXPyXPy≥0时，FY(y)=P(Y≤y)=1于是Y的概率密度为1/21/21/211()()()()()221()[()()],02YXXXXfyfyyfyyyfyfyy0,0)(yyfY)](1[)(yFyFXXFY(y)=P(Y≤y)=P(-X2≤y)例4设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：解其他,01,0,),(yxyxyxf求随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z)。法一(分布函数法)：0xy11)()()(zYXPzZPzFZGzyxdxdyyxf)().(30011231()/3,011()(1)/3,12zzxzzxdxxydyzzdxxydyzzz法二(公式法)：dxxzxfzfZ),()(1010xzx2011[()],01[()](2),120,zzxzxdxzzxzxdxzzz其他2,1)()(;0,0)()(zPzFzPzFZZ其它,021,)2(10,)()(2'zzzzzzFzfZZ?)()()(dxxzfxfzfYXZ能否用注意到被积函数的非零区域G为：x=zx=z-1110zx2G第四章数字特征小结(定义、含义、计算和性质)1.计算（附表一：六大分布）VRCdxxxfVRDpxXEiii..)(..)()()(/),()(),(),()()(22YDXDYXCovEXEYXYEYXCovXEXEXDXY2.性质⑴E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)⑵E(∑iλiXi)=∑iλiE(Xi)(3)D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y)±2λ1λ2Cov(X,Y)VRCdxxfxgVRDpxgXgEiii..)()(..)())((2...,),(),()),((RVRCdxdyyxfyxgYXgE(4)独立必不相关，反之则不一定。E(X),E(Y),E(XY)E(X2),E(Y2)例5设C.R.V.(X,Y)在三角形区域G:0≤x≤1,0≤y≤1-x上服从均匀分布，求Cov(X,Y)和ρXY.解101021xGdydxSGyxGyxSyxf),(,0),(,2/1),(1010312),(2xRxdydxdxdyyxxfEX同理E(X2)=1/6,E(XY)=1/12.从而DX=E(X2)-(EX)2=1/18由对称性有E(Y)=E(X)=1/3,DY=DX=1/18.于是Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/12-(1/3)2=-1/3621)181181/(361),(DYDXYXCovXY例6设Θ~U(0,2π),X=cosΘ,Y=cos(Θ+a),其中0≤a2π为常数，试求ρXY并由此讨论X与Y之间的关系。其它,020,)2/(1)(f200cos21)(cosddfEX解200)cos(21)()cos(dadfaEY2020222122cos121cos21)(ddXE202022212121)(cos21)(ddaYE20202cos2)2cos(cos21)cos(cos21)(adaadaXYE于是aYDXDYXCOVaEXEYXYEYXCOVDYXEXEXDXYcos)()(/),(2cos)(),(2/1)()()(22当a=0，ρXY=1，当a=π/2或3π/2时，因ρXY=0，故X和Y不相关。例7求,1,0,01,0XaXbaaa不存在例8设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),可以推出哪些结论？(分布特点、边缘分布、数字特征、独立与不相关等)baXX,当a=π，ρXY=-1，两种情况下X和Y都呈线性关系。这时Y=-X。这时Y=X；但却有X2+Y2=1，表明X和Y不独立。解D(X+Y)＝DX＋DY＋2Cov（X，Y）854.0*6*5*236252)()(DYDXYDXDXYD(X-Y)＝DX+DY-2Cov（X，Y）374.0*6*5*236252)()(DYDXYDXDXY例9设随机变量X，Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D(λ0+λ1X+λ2Y)，D(X+Y)，D(X-Y)．D(λ0+λ1X+λ2Y)=D(λ1X+λ2Y)＝λ12DX＋λ22DY＋2λ1λ2Cov（X，Y）XYDXDY例10设随机变量X1，X2,…，Xn相互独立，且期望和方差分别为μ,σ2≠0,XXXXXnXjinii和求记,11的相关系数。解),(),(),(),(),(XXCovXXCovXXCovXXCovXXXXCovjijijijiXXCovnXXCovjiXXCovnXXCoviiii),,(),(2),,(),(202222210()(),21()(),iiDXDXijnnnDXDXijnn,1,(,)1,()()1ijijXXXXijijCovXXXXijDXXDXXn2(())DXn第5章：1.契比雪夫不等式2.中心极限定理:正态极限分布:例11试用三种方法计算抛100次均匀硬币出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率。bXaXniinii11,解设出现正面的次数为X，则X~B(100,1/2)第6、7章：抽样分布,正态总体的抽样分布；矩估计、极大似然估计；无偏性；区间估计(单正态总体，双侧)。1直接计算；))1(,(~pnpnpN近似60100100400.50.5,kkkkC(60)(40)FF225(5010)10.75,10PX60504050()()2(2)125253用中心极限定理。2用契比雪夫不等式；例12判断均匀分布U[a,b)参数极大似然矩估计的无偏性。解对X～U[a,b)，参数极大似然矩估计量为11ˆˆmin(),max().iiininaXbX二者的分布函数为minmax()1[1()],()[()].nnFxFxFxFx二者的密度函数为11minmax()[1()](),()[()]().nnfxnFxfxfxnFxfxminminˆ()()()baEaxfxdxxfxdx11(1)11bnanxxandxabbabannmaxˆ()()baEbxfxdx111nabnn显然都不是无偏估计。解若取到的产品非废品，若取到的产品为废品令0,1X则总体X~B(1,p)，其中p为废品率。1）矩法nmxpXXEpEXppEX/ˆ;ˆˆ,,2）极大似然法niiniiiixnxxxnipppppL11)1()1()(11011)(1)(11pxnpxdppdLniinii令Xpnmxpˆ;/ˆ3）无偏性成立。pXEpEˆ例13从一批产品中任取n件，发现有m件废品，试求这批产品废品率p的矩法和极大似然估计。并判断这两种估计量的无偏性。民意调查建模？估计原理？Exer1.设X1,X2,…,X2n为来自正态总体的样本,11221212)()(niiniiXXX~？Exer2.设X1