复变函数与积分变换课堂PPT第四章

第四章级数§1复数项级数§2幂级数§3泰勒级数§4洛朗级数数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来，并得到某些系统的结论。不仅如此，级数可作为研究解析函数的一个重要工具，将解析函数表示为幂级数。是泰勒定理由实情形的推广，是研究解析函数的另一重要方法(注意前一章是用复积分方法研究)。§1复数项级数1.复数列的极限2.级数概念1.复数列的极限此时也称复数列{αn}收敛于α。则α称为复数列{αn}当n时的极限,记作设为一复数列,其中αn=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数。如果任意给定,相应地能找到一个正数使在nN时成立,定理一复数列收敛于α的充要条件是定理一复数列收敛于α的充要条件是找到一个正数N,当nN时,则，同理所以,则对于任意给定的,就能[证]如果从而有所以存在N，当nN时，有,则任给ε0,反之,如果定理一复数列收敛于α的充要条件是[证]2.级数概念称为无穷级数,其最前面n项的和称为级数的部分和。级数称为发散。设为一复数列,表达式如果部分和数列{sn}收敛,则级数称为收敛，且极限称为级数的和。如果数列不收敛，则都收敛。[证]因级数定理二和收敛的充要条件是级数的部分和,由定理一,{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{σn}的极限存在,即级数都收敛。和其中和分别为定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级和数的审敛问题。而由实数项级数收敛的和必要条件要条件是立即可得，从而推出复数项级数收敛的必成立。，可知级数都收敛，因而和及也都收敛，则是收敛的。而又因，因此或如果收敛，则也收敛，且不等定理三由于，而[证]式非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。定义如果收敛，则称级数绝对收敛。由于，因此，所以当绝对收敛时，也绝对收敛，因此与绝对收敛的充要条件是绝对收敛。和例1考察级数的敛散性。[解]因发散，虽收敛，仍断定原级数发散。收敛也可用正项级数的判定法来判定。的各项都是非负的实数,所以它的另外,因为例2下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限。[解]1)因，故而所以数列收敛，且有2)由于an=ncosin=nchn=n(en+e-n)/2,因此,当n时,an。所以an发散。例下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限。[解]例3下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]1)收敛,故原级数发散。发散；敛,故原级数收敛,且为绝对收敛。为条件收敛,所以原级数非绝对收敛。3)因收敛；也收敛,故原级数收敛。但因2)因,由正项级数的比值审敛法知收例下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]1)3)2)§2幂级数1.幂级数概念2.收敛圆与收敛半径3.收敛半径的求法4.幂级数的运算和性质1.幂级数的概念称为复变函数项级数。最前面n项的和设称为这级数的部分和。区域D内有定义。表达式为一复变函数序列,其中各项在存在,则称复变函数项级数在z0收敛,而s(z0)称为它的和。如果对于D内的某一点z0,极限若级数在D内处处收敛,则和一定是z的一个函数s(z)：s(z)称为级数的和函数。这种级数称为幂级数。级数的特殊情形:如果令或当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项的形式,为了方便,今后常就讨论第二式。,这是第二式的,则上式就成为定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO若级数在收敛，则对满足的z，级数必绝对收敛，如果在级数发散，则对满足的z，级数必发散。同高等数学中的幂级数一样，复变幂级数也有所谓幂级数的收敛定理。[证]因收敛，则则存在Ｍ使对所有的n有如果，则而由于为公比小于1的等比级数，故收敛，因此亦收敛，从而级数是绝对收敛的。如果级数发散，且如果。用反证法，设级数结论可导出收敛，与所设矛盾，因此只能是发散。反而收敛，则根据前面的2.收敛圆和收敛半径利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种：i)对所有的正实数都是收敛的。这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛。ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的。这时,级数在复平面内除原点外处处发散。iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数。设时,级数发散。当由小逐渐变大时,(正实数)时,级数收敛,(正实数)一个以原点为中心,R为半径的圆周CR。必定逐渐接近显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy在CR的内部都是红色,外部都是蓝色。这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆。在收敛圆的内部,级数绝对收敛。以z=a为中心的圆域。在收敛圆上是否收敛,则不一定。的外部,级数发散。收敛圆收敛圆的半径R称为收敛半径。所以幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域。对幂级数来说,收敛范围是例1求幂级数[解]级数是等比级数，部分和为的收敛范围与和函数。当时，由于，从而有,即时级数收敛，和函数为不趋于零，级数发散。收敛范围为,当时，由于时，在此范围内绝对收敛，并有3.收敛半径的求法定理二(比值法)，则收敛半径如果[证]时，收敛。由上节定理三，级数由于故知当在圆内收敛。为外有一点，使级数再证当时，级数发散。假设在圆收敛。在圆外再取一点，，那么根据阿贝尔定理，级数必收敛。然而，所以收敛的假定不能成立。因而使级数在圆这跟收敛相矛盾，即在圆周外有一点，使,那么根据阿贝尔定理，级数必收敛。然而，所以收敛的假定不能成立。因而使级数外发散。以上的结果表明了收敛半径在圆这跟收敛相矛盾，即在圆周外有一点，注意：定理中的极限是假定存在的且不为零。若,那么对任何z,级数收敛,从而级数证明从略。，则收敛半定理三(根值法)如果因此也不能收敛,即R=0。否则,根据阿贝尔定理将有使得级数收敛。复平面内除z=0以外的一切z，级数都不收敛。径为在复平面内处处收敛，即。如果，那么对于例2求下列幂级数的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)；(并讨论z=0,2时的情形)；1)2)3)[解]1)因为或所以收敛半径R=1，也就是原级数在圆|z|=1内收敛,在圆周外发散。在圆周|z|=1上，级数是收敛的,例2求下列幂级数的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)；(并讨论z=0,2时的情形)；1)2)3)[解]1)在圆周|z|=1上，级数是收敛的,因为这是一个p级数，p=31，所以原级数在收敛圆上是处处收敛的。例2求下列幂级数的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)；(并讨论z=0,2时的情形)；1)2)3)[解]2)级数收敛；当z=2时，原级数成为也有级数的发散点。，即R=1。这个例子表明，在收敛圆周上即有级数的收敛点，上，当z=0时，原级数成为在收敛圆发散。例2求下列幂级数的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形)；(并讨论z=0,2时的情形)；1)2)3)[解]3)因为故收敛半径为，所以例求下列幂级数的收敛半径1)2)3)[解]1)4)5)例求下列幂级数的收敛半径1)2)3)[解]2)4)5)例求下列幂级数的收敛半径[解]3)1)2)3)4)5)例求下列幂级数的收敛半径[解]4)1)2)3)4)5)例求下列幂级数的收敛半径1)2)3)[解]5)4)5)4.幂级数的运算和性质在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积。在象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算。具体说来，设中较小的一个，也就是各种情形，所得到的幂级数的收敛半径大于或等于r1与r2为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半径确定可以大于r1与r2中较小的一个,下面举一个例子。例3设有幂级数与，求的收敛半径。例3设有幂级数与，求的收敛半径。[解]但级数容易验证，与的收敛半径都等于1,的收敛半径的公共收敛圆域自身的收敛圆域大于这就是说，但应注意，使等式与例3设有幂级数与，求的收敛半径。[解]的公共收敛圆域自身的收敛圆域大于这就是说，但应注意，使等式与成立的收敛圆域仍应为，不能扩大。更为重要的是代换(复合)运算,就是：把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用。如果当时,,又设在内g(z)解析且满足则当时，。这个代换运算,在例4把函数表成形如的幂级数，其中a与b是不相等的复常数。[解]把函数写成如下形式：当时，有例4把函数表成形如的幂级数，其中a与b是不相等的复常数。[解]设从而可得，那么当时，上式右端的级数收敛，例4把函数表成形如的幂级数，其中a与b是不相等的复常数。[解]设，那么当时，上式右端的级数收敛，且其和为且。因为z=b时，阿贝尔定理知，当级数发散，即上式右端的级数Oxyab当|z-a||b-a|=R时级数收敛上式右端的级数发散，故由时，的收敛半径为本题的解题步骤为：首先把函数作代数变形，使其分母中出现量再按照展开式为已知的函数的形式写成，其中。然后把展开式中的z换成g(z)。例把函数分别表成形如和的幂级数，并求其收敛半径。[解](1)把函数而时，即展开成形如的幂级数，即例把函数分别表成形如和的幂级数，并求其收敛半径。[解](2)把函数而时，即展开成形如的幂级数，即定理四设幂级数的收敛半径为R，则1)它的和函数是收敛圆的解析函数。2)f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导内得到，即3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即或复变幂函数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具有下列性质：例求下列幂级数的收敛半径及其和函数1)2)3)[解]1)2)例求下列幂级数的收敛半径及其和函数1)2)3)[解]3)例求下列幂级数的收敛半径及其和函数1)2)3)[解]1)4)2)3)4)§3泰勒级数设函数f(z)在区域D内解析,而z0Kzzz0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把上一节中证明了一个幂级数的和函数在收敛域内部是一个解析函数。这节来研究：任何一个解析函数是否能用幂级数来表达？这个问题不但具有理论意义，而且很有实用价值。为D内以它记作K,又设z为K内任一点。于是按柯西积分公式有其中K取正方向,且有由于积分变量取在圆周K上，点z在K的内部，所以，且有代入柯西积分公式得由解析函数高阶导数公式，上式可写成其中在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达。为此令显然，q与积分变量z无关,且0q1。由于K含于D,如果能证明在K内成立，由上式可得f(z)在D内解析,从而在K上连续,则在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|M。则因此,下面的公式在K内成立。称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数。如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则展开式在圆域|z-z0|d内成立。但这时对f(z)在z0的泰勒级数来说,它的收敛半径R至少等于d,因为凡满足|z-z0|d的z必能使公式成立,即Rd。从以上的讨论，可得到下面的定理(泰勒展开定理)成立，其中定理(泰勒展开定理)D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d时,设f(z)在区域D内解析,z0为从以上的讨论，可得到下面的定理(泰勒展开定理)如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立Oxyz0a的圆域的半径R等于从z0到f(z)距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|。这是因为f(z)在收敛圆内解析,故奇点a不可能在收敛圆内。又因为奇点a不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大,因此奇点a只能在收敛圆周上。任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的。这是因为,假设f(z)在z0用另外的方法展开为泰勒级则f(z0)=a0.而于是f'(z0)=a1.级数：同理可得由此可见，任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，因而是唯一的。利用泰勒展开式,也可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法,例如,故有求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1,(n=0,1,2,...)因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为。同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:因为sinz与cosz在复平面上处处解