【优化方案】2012高考数学总复习-第2章§2.9函数与方程精品课件-理-北师大版

§2.9函数与方程考向瞭望•把脉高考§2.9函数与方程考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与__________________称为这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_______横轴交点的横坐标横轴零点．思考感悟1．函数的零点是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点吗？2．是否任意函数都有零点？提示：1.函数的零点不是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点，而是y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．2．并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．利用函数性质判定函数零点若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是__________，并且在区间端点的函数值符号______，即__________，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．3．二分法(1)每次取区间的_______，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中_____________的方法称为二分法．连续曲线相反f(a)f(b)0中点一个小区间(2)将a＋b2称为区间[a，b]的中点．课前热身1．下列函数中没有零点的是()A．f(x)＝x3B．f(x)＝xC．f(x)＝1xD．f(x)＝x2－x答案：C2．(教材习题改编)下列四个函数图像中，方程fi(x)＝0(i＝1,2,3,4)在区间(－∞，0)内有解的是________．答案：B3．函数f(x)＝－1x＋lgx的零点所在区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,10)答案：C4．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点为2，则g(x)＝bx2－ax的零点是________5．若函数f(x)＝ax2－x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．答案：0，－12答案：(－∞，－12)∪(12，＋∞)考点探究•挑战高考考点突破函数零点个数的判断对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图像；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x＞0，的零点个数为()A．0B．1C．2D．3例1【思路点拨】根据函数零点的概念或借助图像判断．【解析】法一：令f(x)＝0，得x≤0x2＋2x－3＝0或x＞0lnx＝2，∴x＝－3或x＝e2，应选C.法二：画出函数f(x)的图像可得，图像与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点．【答案】C【规律小结】(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像交点的横坐标．互动探究将本例中x2＋2x－3改为2x－x，即函数f(x)＝2x－x，x≤0，－2＋lnx，x＞0，求f(x)有几个零点？解：显然当x≤0时，2x＞x即y＝2x－x无零点，由例1的解答可知，f(x)有1个零点．确定函数零点的大致区间要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在[a，b]上连续，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．(2010年高考天津卷)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)例2【思路点拨】判断区间左端点fa的符号→判断区间右端点fb的符号→判断fa·fb是否小于0→确定零点所在区间【解析】由于f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0.根据函数的零点存在性定理，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内．【答案】C【失误点评】这类题目易出现计算错误而导致函数值与零的大小判断错误的解题错误．用二分法求方程的近似解用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．求方程x3＋2x2－3x－6＝0的一个为正数的实数根(精确到0.1)．【思路点拨】令f(x)＝x3＋2x2－3x－6，则问题转化为求函数f(x)的一个正实数的零点，因此可以考虑首先确定一个包含正数的闭区间，而f(0)＝－60，f(1)＝－60，f(2)＝40，所以可取区间[1,2]作为计算的初始区间．例3【解】令f(x)＝x3＋2x2－3x－6.由于f(1)＝－60，f(2)＝40，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11221.5231.51.7541.6251.7551.68751.7561.718751.7571.718751.734375由上表可知，区间[1.71875,1.734375]中的每一个数精确到0.1的近似值都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．【规律小结】在二分法求方程解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试验估计，初始区间可以选的不同，不影响最终计算结果．方法感悟方法技巧1．方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．(如例1)2．如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．不变号零点不能用零点存在定理来判断，只能借助函数图像或解方程得到．(如例2)3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．(如例3)失误防范1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数的零点，注意以下几点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．(3)一般我们只讨论函数的实数零点．(4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．2．对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)＜0；(3)在(a，b)内存在零点．事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要．考情分析考向瞭望•把脉高考函数与方程是每年必考的知识点之一，函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一．本节考查重点是函数零点的存在性以及利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数等．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查相关函数的图像和性质．预测2012年高考仍将以函数的零点为主要考点，重点考查分析问题解决问题的能力．真题透析例(2010年高考浙江卷)设函数f(x)＝4sin(2x＋(1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4]【思路点拨】函数在某个区间上不存在零点，不好直接判断，但可以根据三角函数值的情况，结合函数的零点定理进行分析，判断函数在哪些区间上存在零点，然后再结合排除法找到答案．【解析】f(0)＝4sin1＞0，f(2)＝4sin5－2，由于π＜5＜2π，所以sin5＜0，故f(2)＜0，故函数在[0,2]上存在零点；由于f(－1)＝4sin(－1)＋1＜0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x＝5π－24∈[2,4]，则f(5π－24)＝4sin5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4＞0，而f(2)＜0，所以函数在[2,4]上存在零点．综合可知，函数在[－4，－2]上不存在零点．故选A.【答案】A【名师点评】(1)函数的零点定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件，即函数在一个区间端点处的函数值同号时，函数在这个区间上也可能存在零点，所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点定理，要综合函数性质进行分析判断．(2)当函数在一个区间上的图像是连续的时候，若函数在区间的两个端点处的函数值异号，则函数在这个区间上一定存在零点．如果要判断一个函数在某个区间上存在零点，就可以研究这个函数在区间端点值的符号，根据这个定理进行判断．1．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在的区间为()A．[0，18]B．[18，14]C．[14，12]D．[12，1]解析：选C.由f(14)＝π4＋log214＝π4－2＜0及f(12)＝π2－1＞0，可知选C.名师预测2．函数f(x)＝ex－1x的零点所在的区间是()A．(0，12)B．(12，1)C．(1，32)D．(32，2)答案：B3．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是()A．3B．2C．1D．0解析：选A.由f(－1)＝1－2－1＝12＞0，f(0)＝0－1＜0知在区间(－1,0)内有一个零点；又f(2)＝22－22＝0，f(4)＝42－24＝0.故有三个零点．4．函数f(x)＝lnx－x2＋2xx＞02x＋1x≤0的零点个数是________．解析：当x≤0时，由2x＋1＝0得x＝－12；在同一坐标系中作出函数y＝lnx(x＞0)与y＝x2－2x(x＞0)的图像如图所示，易知此时两函数图像有两个交点，故函数f(x)的零点个数是3.答案：3