江西省南昌市十中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

南昌十中2017-2018学年度上学期期中考试试卷高二数学试题(理科)一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）1．双曲线2231yx的渐近线方程是（）A．3yxB．13yxC．3yxD．33yx2．直线tytx221（t是参数）被圆922yx截得的弦长等于（）A.512B.5109C.529D.55123.已知椭圆125222yax)5(a的两个焦点为1F、2F，且8||21FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长为（）A．10B．20C．241D．4144..双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为()A.14422xyB.14422yxC.18422xyD.14822yx5.椭圆22525922yx上一点P到右准线的距离为25，则P到左焦点的距离为()A.8B.825C.29D.3166.已知P是抛物线xy42上一动点，则点P到直线032:yxl和y轴的距离之和的最小值是（）A.3B.5C.2D.157.若实数x、y满足：22916144xy，则10xy的取值范围是（）A.[5，15]B.[10，15]C.[15，10]D.[15，35]8.双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别为AFF,21、是双曲线渐近线上的一点，212FFAF，原点O到直线1AF的距离为131OF，则渐近线的斜率为（）A.5-5或B.2-2或C.1-1或D.22-22或9.已知点P为双曲线191622yx右支上一点，点21FF、分别为双曲线的左、右焦点，M为21FPF的内心，若821PMFPMFSS，则21FMF的面积为()A.27B.10C.8D.610．已知双曲线141222yx的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A.)33,33(B.)3,3(C.[33,33D.3,311.过抛物线)0(22ppxy的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则BFAF的值等于（）A.5B.4C.3D.212．已知椭圆)0,0(12222babyax的左、右焦点分别为21FF、，P为椭圆上的一点，且221cPFPF，则椭圆的离心率取值范围为（）A.33,0B.(22,0C.22,31D.22,33二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13．抛物线24xy的焦点坐标是________________.14．椭圆的)0(1:2222babyaxC左焦点为F，若F关于直线03yx的对称点A是椭圆上的点，则椭圆的离心率为________________.15．已知椭圆：14222byx，左右焦点分别为21,FF，过1F的直线l交椭圆于BA,两点，若22BFAF的最大值为5，则椭圆标准方程为___________．16.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知21FF、是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当6021PFF时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________________.三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)17．已知椭圆C：22143xy，直线33:23xtlyt（t为参数）．(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设(1,0)A，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．18.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为12,FF，离心率为22，点(2,3)在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点(2,1)P的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．19.已知双曲线的中心在原点，焦点21FF、在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(.（1）求双曲线方程；（2）若点),3(mM在双曲线上，求证：点M在以21FF为直径的圆上；（3）在（2）的条件下求21MFF的面积.20.已知动点P在抛物线yx22上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足PHPQ21.(1)求动点Q的轨迹E的方程；（2）点4,4M，过点5,4N且斜率为k的直线交轨迹E于BA、两点，设直线MBMA、的斜率为21,kk，求21kk的值.21.平面直角坐标系xOy中，过椭圆)0(1:2222babyaxC右焦点的直线kkxyl:交C于BA、两点，P为AB的中点，当1k时OP的斜率为．(1)求C的方程；(2)x轴上是否存在点Q，使得k变化时总有BQOAQO，若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．22．设圆015222xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC、两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明EBEA为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于NM、两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.南昌十中2017-2018学年度上学期期中考试试卷高二数学理科试题答案一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）CDDAA51DADBC106CD1211二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13.161,014.1315.13422yx16.3三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)17.（10分）【答案】（1）2cos3sinxy，x－3y＋9＝0；（2）833(,)55P．试题解析：（Ⅰ）C：2cos3sinxy（θ为参数），l：x－3y＋9＝0．4分（Ⅱ）设(2cos,3sin)P，则22||(2cos1)(3sin)2cosAP，P到直线l的距离|2cos3sin9|2cos3sin922d．由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得3sin5，4cos5．故833(,)55P．10分18.（12分）【答案】（1）22184xy；（2）03yx.试题解析：（1）由题得22223,12caab，又222abc，解得228,4ab，∴椭圆方程为：22184xy；（2）设直线的斜率为k，1122(,),(,)AxyBxy，∴222211221,18484xyxy，两式相减得12121212()2()0yyxxyyxx，∵P是AB中点，∴121212124,2,yyxxyykxx，代入上式得：440k，解得1k，∴直线:30lxy.19.（12分）【答案】(1)16622yx（2）见解析（3）6试题解析：离心率为2e，双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为)0(22yx点10,4在曲线上，代入得6，16622yx（2）证明：点),3(mM在双曲线上，692m)0,32(),0,32(21FF03129129221mMFMF21MFMF点M在以21FF为直径的圆上。（3）63342122121mcSMFF20.（12分）【答案】(1)yx42(2)41试题解析：（1）设点yxPPHPQyxQ2,21),(轨迹E的方程为yx42（2）设过点N的直线方程为5)4(xky，),(),,(2211yxByxA联立yxxky25)4(得0201642kkxx则2016,42121kxxkxx44,44222111xykxyk16)(41816))(4(2121221221221xxxxkkxxkkxxkkk4143281kk21.（12分）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO解：（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，则，于是，所以AB中点P的坐标为，OP的斜率为，所以b=1，．从而椭圆C的方程为；（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以，，直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．，))()(12()2(2)1()1(2122211mxmxkmkmxxkmxxkkkBQAQ当2m时，0BQAQkk所以存在点)0,2(Q使得∠AQO=∠BQO22.（12分）(1)证明因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：x24＋y23＝1(y≠0).(2)解当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由y＝k（x－1），x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）4k2＋3.过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，A到m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83).当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83).