2.3.2平面与平面垂直的判定 课件(人教A版必修2)

2.3.2平面与平面垂直的判定1.了解二面角及其平面角的概念,并会求二面角的大小.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直的问题.1.二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面续表图示文字在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0,π]平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为l,面分别为α,β的二面角记为α-l-β.如图所示,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-l-Q二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形;平面上可以把角理解为一个旋转量,二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.二面角定量地反映了两个相交平面的位置关系.(1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的,与选择棱上的点的位置无关.(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内,且两边都与二面角的棱垂直,这个角所确定的平面与棱垂直.【做一做1-1】如图所示的二面角可记为()A.α-β-lB.M-l-NC.l-M-ND.l-β-α答案:B【做一做1-2】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不作辅助线,写出二面角A1-AB-D的一个平面角为.解析:∵AD⊂平面ABD,A1A⊂平面A1AB,AD⊥AB,AA1⊥AB,∴∠A1AD是二面角A1-AB-D的一个平面角,同理∠B1BC也是一个平面角.答案:∠A1AD(或∠B1BC)2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.(3)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β作用判断两个平面垂直平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.【做一做2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD⊥平面BDD1B1.证明:∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,∴BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,∴平面ABCD⊥平面BDD1B1.1.理解二面角及其平面角剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来表示,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.(3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角大小相等,相邻的两个二面角大小互补.2.处理翻折问题的关键剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆不清.例如:在正△ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2,如图①.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P,如图②.下面探讨平面BA1E是否与平面BEP垂直.根据图①,由平面几何的知识,可得EF⊥AE,EF⊥BE.在图②中,这两个位置关系没有变化,而点A,B,E的相对位置关系发生了变化,翻折前这三点共线,但是翻折后不共线.不妨设正三角形的边长为3,则在图③中,取BE的中点D,连接DF.∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2.而∠A=60°,∴△ADF为正三角形.又AE=DE=1,∴EF⊥AD.则在图②中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角.∴∠A1EB=90°.∴A1E⊥BE.又BE∩EF=E,∴A1E⊥面BEP.又∵A1E⊂平面BA1E,∴平面BA1E⊥平面BEP.题型一求二面角的大小【例1】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角D1-BC-D的平面角的大小.解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,∴BC⊥平面D1C.又D1C⊂平面D1C,∴BC⊥D1C,∴∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.在△D1CD中,D1D⊥CD,D1D=CD,∴∠D1CD=45°.∴二面角D1-BC-D的平面角的大小是45°.反思:异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角统称为空间角,其求解方法相同,步骤是:①作出它们的平面角;②证明所作的角满足定义;③将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小,又简称为“一作二证三计算”.题型二证明两个平面垂直【例2】如图所示,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置,使CD=AC,求证:平面ABD⊥平面ABC.证明:证法一:取AB的中点O,如图所示,连接OD,OC.∵AD=DB,∴DO⊥AB.又△ABD≌△ABC,∴OD=OC=12AB,又△ABC是等腰直角三角形,∴OC=22AC,又CD=AC,∴OC=22CD,∴OD2+OC2=2OC2=CD2,∴DO⊥OC.又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,∴DO⊥平面ABC.又DO⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC.证法二:取AB的中点O,连接OD,OC,如图所示.则有OD⊥AB,OC⊥AB,即∠COD是二面角C-AB-D的平面角.设AC=a,则OC=OD=22a.又∵CD=AD=AC,∴CD=a,∴CD2=OC2+OD2.∴△COD是直角三角形,即∠COD=90°.∴二面角C-AB-D是直二面角,即平面ABD⊥平面ABC.反思:(1)证明平面与平面垂直的方法有两个:①利用定义:证明二面角的平面角为直角,如本题证法二;②利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,如本题证法一.(2)根据面面垂直的定义判定两个平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转证线面垂直.其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.题型三易错辨析易错点错认二面角的平面角【例3】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA=2AD,二面角P-CD-A的平面角为θ,则tanθ=.错解:∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是二面角P-CD-A的平面角,∴θ=∠PCA,在Rt△PAC中,PA⊥AC,AC=2AD,又PA=2AD,∴PA=2AC,∴tanθ=tan∠PCA=PA2AC,故填2.错因分析:错解中,错认为∠PCA是二面角P-CD-A的平面角,其实不然,其原因在于PC,AC与二面角P-CD-A的棱CD不垂直.正解:∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA,又CD⊥AD,且PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD,∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.在Rt△PAD中,PA⊥AD,PA=2AD,∴tanθ=tan∠PDA=PAAD=2.答案:2反思:二面角的平面角要满足条件:①顶点在棱上;②两边分别在两个面内;③两边与棱均垂直.这三个条件缺一不可,本题错解中不满足条件③.1如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小等于.解析:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC.∴∠BAC是二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的平面角是90°.答案:90°2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,则BF=.解析:∵AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,∴AB⊥C1F,AB⊥CF,又EF∥AB,∴C1F⊥EF,CF⊥EF,∴∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,∴∠C1FC=45°,∴△FCC1是等腰直角三角形,∴CF=CC1=AA1=1.又BC=2,∴BF=BC-CF=2-1=1.答案:13在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图所示,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.解析:∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,∴PA⊥平面PBC,∵PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,∴平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证:平面PAB⊥平面PAC.答案:34如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.证明:∵PA⊥平面AC,CD⊂平面AC,∴PA⊥CD.∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又∵CD⊂平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD.