图象变换与对称---2013届高考文科数学第一轮考点总复习

1第二章函数22.10图象变换与对称考点搜索●平移变换●对称变换●伸缩变换●快速画出函数y=ax+bcx+d(c≠0，a，b不同时为零)型的草图3考点搜索●依据图象确定解析式●数形结合的思想方法●图象创新题的解题策略高考猜想借助图象研究函数的性质是一种常用的方法,高考对图象的考查,既有容易的选择题,又有综合程度较高的解答题;主要形式可能有(1)函数的图象;(2)函数图象变换的知识(包括图象对称性的证明);(3)数形结合思想;(4)识图读图能力等.4一、函数图象的三种变换1.平移变换：y=f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到①____________的图象；y=f(x-b)(b＞0)的图象可由y=f(x)的图象②_____________________而得到；y=f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到③________的图象；y=f(x)+b(b＜0)的图象可由y=f(x)的图象④____________________而得到.y=f(x)+by=f(x+a)向右平移b个单位长度向下平移-b个单位长度52.对称变换：y=f(-x)与y=f(x)的图象关于⑤_____对称；y=-f(x)与y=f(x)的图象关于⑥_____对称；y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于⑦_____对称；y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于⑧_________对称;y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分⑨_____________________________，其余部分不变而得到；y=f(|x|)的图象可先作出y=f(x)当x≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于⑩__________，作出的图象11__________.y轴x轴原点直线y=x以x轴为对称轴翻折到x轴上方y轴对称当x0时63.伸缩变换：y=Af(x)(A＞0)的图象，可将y=f(x)的图象上所有的点的12_______变为原来的A倍，13_______不变而得到;y=f(ax)(a＞0)的图象，可将y=f(x)的图象上所有的点的14_______变为原来的倍，15______不变而得到.二、几个重要结论1.若f(a+x)=f(b-x)，对任意x∈R恒成立，则y=f(x)的图象关于16__________对称.1a纵坐标横坐标横坐标纵坐标直线2abx72.若函数f(x)的图象关于直线x=m及x=n对称，则f(x)是周期函数，且最小正周期为17________.3.函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于18_____对称.盘点指南：①y=f(x+a);②向右平移b个单位长度；③y=f(x)+b;④向下平移-b个单位长度;⑤y轴;⑥x轴;⑦原点；⑧直线y=x;⑨以x轴为对称轴翻折到x轴上方;⑩y轴对称；11当x0时；12纵坐标；13横坐标；14横坐标；15纵坐标；16直线;172|m-n|;18直线2|m-n|-2bax-2bax2abx8按a=(1,2)平移1.若把函数y=f(x)的图象作平移，可以使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，则函数y=f(x)的图象经此变换后所得图象对应的函数为()A.y=f(x-1)+2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x+1)+2D.y=f(x+1)-2解：若把函数y=f(x)的图象作平移，可以使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)平移向量a==(1,2).所以函数y=f(x)的图象得y=f(x-1)+2.故选A.APQ92.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈［-1,1］时，f(x)=x2，则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为()A.2B.3C.4D.5解：由f(x+2)=f(x)知函数y=f(x)的周期为2，作出其图象如下,当x=5时,f(x)=log55=1；当x5时，log5x1,y=f(x)与y=log5x的图象不再有交点，故选C.C103.已知函数f(x)=的反函数f-1(x)的图象的对称中心是(-1,)，则实数a的值是_____.解：函数f(x)=的反函数f-1(x)的图象的对称中心是(-1,)，所以f(x)=的对称中心是(,-1).而f(x)=的对称中心是(a+1,-1)，所以a+1=，解得a=.---1axxa32---1axxa---1axxa---1axxa3232321212111.作出下列函数的图象:(1)y=x(|x|-2);(2)y=;(3)y=log2(|x|-1).解：(1)函数y=x(|x|-2)是奇函数，图象关于原点对称，如图1.题型1作图问题1xx12(2)定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)，函数解析式可变形为即向左平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度，如图2.(3)定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，函数为偶函数，图象关于y轴对称.当x＞1时,y=log2(x-1),其图象是函数y=log2x的图象向右平移一个单位长度，如图3.11-,1yx1-yx13点评：函数图象的作图问题，一般先根据定义域、值域确定图象的大致范围；然后判断函数的性质，如奇偶性、单调性；再根据描点法画一部分的图象；最后利用图象的平移、翻折、伸缩等变换得出整个函数的图象.14作出下列函数的图象：解：(1)如图1.拓展练习拓展练习||11(1)(lg|lg|);(2)().22xyxxy0(01),lg(1)yxxx15(2)作出y=()x的图象，保留y=()x图象中x≥0的部分，加上y=()x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y=()|x|的图象，如图2实线部分.1()(0),22(0)xxyxx12121212162.函数y=-xcosx的图象是()题型2识图问题17解：令y=f(x)=-xcosx，则f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x)，即f(x)是奇函数且f(0)=0，所以y=-xcosx的图象是关于坐标原点O成中心对称.从而可知选项A与C均不正确.又当0＜x＜时，y=-xcosx＜0，则当-＜x＜0时，y=-xcosx＞0，于是选项B是不对的，故选D.2218点评：由解析式选择函数图象的问题，可从这些方面入手：①图象是否过特殊点，如与坐标轴的交点坐标；②根据定义域或值域，图象是否位于特殊位置，如经过哪些象限，不经过哪个象限；③图象是否是对称的，如是不是奇(偶)函数；④函数的单调性或单调区间是否能很快判断等等，再结合排除法，最后可得出函数的图象.19拓展练习拓展练习20213.已知f(x)=|x2-4x+3|.(1)求f(x)的单调区间;(2)求m的取值范围，使方程f(x)=mx有4个不同实根.解：(1)f(x)=单调递增区间为［1，2］，［3，+∞);单调递减区间为(-∞，1)，(2，3).题型3函数图象的应用及对称问题22(-2)-1(13),-(-2)1(13)xxxxx或22(2)设y=mx与y=f(x)有四个公共点，设直线l:y=kx(k≠0)与y=f(x)有三个公共点，则0＜m＜k.由得x2+(k-4)x+3=0.①令Δ=(k-4)2-12=0，得k=4±.2-4-3ykxyxx，2323当k=4+2时,方程①的根x1=x2=-(1，3),舍去.当k=4-2时,方程①的根x1=x2=∈(1，3),符合题意.故0＜m＜4-2,即所求实数m的取值范围是(0,4-2).点评：根据图形可以直观地观察图象的性质,这体现了数形结合思想.与函数有关的问题：如求解析式、比较大小、解不等式、求参数等问题,常常借助于函数的图象来帮助解决.33333324已知f(x)=(a0,且a≠1).(1)证明：对任意的x1、x2∈R，当x1+x2=1时，都有f(x1)+f(x2)=-1;(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.解：(1)证明：y=f(x)的定义域是R，拓展练习拓展练习-xaaa21121212121212-()()-[()()]-()()()2--1.()xxxxxxxxxxxxaafxfxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa25(2)由(1)有f(x)+f(1-x)=-1，令S=f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)，则S=f(3)+f(2)+f(1)+f(0)+f(-1)+f(-2)，上面两式相加得：2S=-6，即S=-3，故所求的值是-3.261.将函数y=logx的图象沿x轴向右平移1个单位长度得图象C1，图象C2与C1关于原点对称，图象C3与C2关于直线y=x对称，求图象C3对应的函数解析式.解：由已知得C1:y=log(x-1)，C2:y=-log(-x-1)=log2(-x-1).由y=log2(-x-1)，得x=-2y-1，所以C3:y=-2x-1.题型图象变换问题参考题参考题121212272.把函数y=log3(x-1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位长度，再将整个图象向下平移4个单位长度，求所得图象对应的解析式.解：y=log3(x-1)y=log3(2x-1)y=log3［2(x-)-1］=log3(2x-2)y=log3(2x-2)-4.横坐标缩短到原来的倍12121212向右平移个单位长度12向下平移4个单位长度281.作函数图象的基本方法有两种：描点法和变换法.作图时必须考虑函数的定义域，并注意化简或变形函数解析式.2.变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换原理，找出所求作的函数图象与这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形.3.对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.