圆锥曲线专题复习

1圆锥曲线一、定义【焦点三角形】1、已知椭圆14922yx的左右焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，（1）若∠F1PF2=900，求△F1PF2的面积（2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2的面积2、已知双曲线14522yx的左右焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，（1）若∠F1PF2=900，求△F1PF2的面积（2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2的面积3、例1：21,FF是椭圆)0(12222babyax的两个焦点，以1F为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M。若直线12FMF与圆相切，求该椭圆的离心率。4、椭圆14922yx的焦点为21FF、。点P为其上的动点，当21PFF为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？（2000年全国高考试题）5、椭圆)0(2222babyax和双曲线)0,(2222nmnymx有公共的焦点)0,(1cF、)0,(2cF，P为这两曲线的交点，求21PFPF的值．二、方程1、a、b、c、e几何意义，焦点坐标，准线方程2、求方程直接法、代入法、定义法2.1【直接法】2.2【代入法】已知圆922yx，从圆上任意一点P向x轴作垂线段/PP，点M在/PP上，并且/2MPPM，求点M的轨迹。2.3【定义法】（与两个定圆相切的圆心轨迹方程）：一动圆与两圆：012812222xyxyx和都外切，则动圆的圆心2的轨迹方程是什么？（2000全国高考试题）题型1：求轨迹方程例1．（1）一动圆与圆22650xyx外切，同时与圆226910xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线2219xy有动点P，12,FF是曲线的两个焦点，求12PFF的重心M的轨迹方程。3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。已知定圆C1：922yx，圆C2：0622yxx三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算(1)要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦长.弦长公式：(2)对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”.3.圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有：•直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”.4.圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用.1、已知椭圆xy2291，过左焦点F1倾斜角为6的直线交椭圆于AB、两点。求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。yxMO1O32、椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是线段AB的中点.若|AB|=22，直线OC的斜率为22，求实数a、b的值.例1．已知椭圆：1922yx，过左焦点F作倾斜角为6的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.1）求直线1yx被双曲线2214yx截得的弦长；（一）中点问题一、【已知中点坐标】以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。1、在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________2、过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程3、椭圆1449422yx内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为4、中心在原点，一焦点为F1（0，52）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程。二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522xy的一条弦的斜率为3，它与直线21x的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标4已知椭圆1257522xy,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214yx截得的弦中点轨迹方程.三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F的椭圆被直线23:xyl截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422yx，试确定的m取值范围，使得对于直线mxy4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设),(111yxP，),(222yxP为椭圆上关于直线mxy4的对称两点，),(yxP为弦21PP的中点，则12432121yx，12432222yx两式相减得，0)(4)(322212221yyxx即0))((4))((321212121yyyyxxxxxxx221，yyy221，412121xxyyxy3这就是弦21PP中点P轨迹方程。它与直线mxy4的交点必须在椭圆内联立mxyxy43，得mymx3则必须满足22433xy，即22433)3(mm，解得1313213132m（二）1、已知抛物线xy82的焦点为F，准线与x轴的交点为Q，直线l经过点Q与抛物线交于A、B两点；5.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=四、求离心率的值或范围1.1、已知a=2b，求e1.2、已知b=2c，求e1.3、已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项，求e2、已知a2b，求离心率的范围3、（2009江西）过椭圆12222byax的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=600，求离心率4、过椭圆12222byax的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，Q，F2为右焦点，（1）若∠F1F2P=450，求离心率（2）若∠F1F2P＜450，求离心率的范围（3）∠PF2Q900，求离心率的范围5、过双曲线12222byax的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于点P，Q，F2为右焦点，（1）若∠F1F2P=450，求离心率（2）若∠F1F2P450，求离心率的范围（3）∠PF2Q900，求离心率的范围（4）若△PF2Q为等边三角形，求离心率的值（5）若△PF2Q为锐角三角形，求离心率的范围6、已知双曲线的渐近线为xy43，则双曲线的离心率e7、已知F1，F2是椭圆12222byax的左右焦点，P是椭圆上的一点，（）（1）∠F1PF2=600，求椭圆离心率的范围。（2）∠F1PF2=900，求椭圆离心率的范围。（3）∠F1PF2为锐角，求椭圆离心率的范围。8、椭圆12222byax与圆222cyx，（222cba）（1）没有交点求椭圆离心率的范围（2）两个交点求椭圆离心率的值（3）四个交点求椭圆离心率的范围69、椭圆12222byax的右焦点F2直线cax2，若过F2且垂直于x轴的弦长等于点F2到1l的距离，求椭圆的离心率。10、（2009浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是（）21世纪教育网A．32B．22C．13D．1211、（2008全国）设△ABC是等腰三角形，∠ABC=1200，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为12、已知双曲线的两条渐近线的夹角为602，则离心率为13、（2007福建）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为14、（2007湖南）已知F1，F2是椭圆12222byax的左右焦点，P是右准线上纵坐标为c3（c为半焦距）的点，且|F1F2|=|F2P|，则离心率为15、（2007北京）已知F1，F2是椭圆12222byax的左右焦点，两准线与x轴的交点分别为M、N，若212FFMN，则离心率为16、（2007湖南理）（较难）已知F1，F2是椭圆12222byax的左右焦点，若右准线存在点P，使线段PF1的中出现中垂线过点F2，则离心率的取值范围17、（2007全国理）已知F1，F2双曲线12222byax的左右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=900，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为18、．F1、F2为椭圆12222byax的两焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2=90°，求椭圆的离心率的取值范围19、双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A、(1,3)B、1,3C、(3,+)D、3,7五、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l代入曲线C的方程，消去一个字母(如y)得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，则（1）当a≠0时，则有Δ0，l与C相交；Δ=0，l与C相切；Δ0，l与C相离.（2）当a=0时，得到一个一元一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴.需要注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时，直线与双曲线或抛物线可能相切也可能相交.五、最值问题1、求圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值2、求圆锥曲线上的点到定点与到焦点的距离和的最值3、圆锥曲线与向量的综合应用1、过椭圆1422yx的右焦点F的直线l与椭圆交于A、B两点。（1）若|AB|=2，求直线l的方程（2）若FBAF2，求直线l的方程（3）若FBAF2，求直线l的方程（4）若OBOA=0，求直线l的方程（5）若OBOA=3，求直线l的方程2、已知过点P（1，0）的直线与双曲线1422yx交于A、B两点，（1）若|AB|=2，求直线l的方程（2）若PBPF2，求直线l的方程（3）若PBAP2，求直线l的方程（4）若OBOA=0，求直线l的方程（5）若OBOA=3，求直线l的方程83、已知过点P（-1，0）的直线与抛物线xy42交于A、B两点。（1）若|AB|=2，求直线l的方程（3）若PBPF2，求直线l的方程（4）若PBAP2，求直线l的方程4、已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点F，右顶点为A，点B在椭圆上，BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P．若PBAP2，则椭圆的离心率是()（A）23（B）22（C）31（D）215、（（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则||AF=()A.2B.2C.3D.3【解析】过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FAFB,故2||3BM.又由椭圆的第二定义,得222||233BF||2AF.故选A【答案】A6、（2009浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．5D．10【解析】对于,0Aa，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,,(,)aabaabBCabababab则有22222222(,),,ababababBCABabababab，因222,4,5ABBCabe．【答案】C97、（2009四川卷文、理）已知双曲